マイヤーソン・サッタースウェイト定理

マイヤーソン・サッタースウェイト定理は、メカニズム設計と非対称情報の経済学における重要な結果であり、ロジャー・マイヤーソンとマーク・サッタースウェイトにちなんで名付けられました。^[1] 非公式には、この定理は、2つの当事者がそれぞれ秘密で確率的に変化する商品の価値を持っている場合、一方の当事者が損失を被るリスクなしに商品を取引する効率的な方法は存在しないことを示しています。

マイヤーソン-サッタースウェイトの定理は、経済学における最も注目に値する普遍的に適用可能な否定的な結果の一つであり、厚生経済学の基本定理の一種の否定的な鏡である。^[要出典]しかし、この定理は、それらの定理の結果や、満足のいく選挙制度の不可能性に関するアローの以前の結果ほど有名ではない。

2 人のエージェントがいます。サリー (売り手) とボブ (買い手) です。サリーは、彼女とボブの両方にとって価値のある品物を持っています。各エージェントは、品物を と評価し、サリーは と評価します。各エージェントは、自分の評価を確実に知っていますが、他のエージェントの評価は確率的にしか知りません。 ${\displaystyle v_{B}}$${\displaystyle v_{S}}$

• サリーの場合、ボブの評価は範囲 で正となる確率密度関数によって表されます。対応する累積分布関数は です。${\displaystyle f_{B}}$${\displaystyle [{\underline {B}},{\overline {B}}]}$${\displaystyle F_{B}}$
• ボブにとって、サリーの評価は範囲 で正となる確率密度関数によって表されます。対応する累積分布関数は です。${\displaystyle f_{S}}$${\displaystyle [{\underline {S}},{\overline {S}}]}$${\displaystyle F_{S}}$

直接交渉メカニズムとは、各エージェントにアイテムの評価を報告するよう求め、アイテムを取引するかどうか、またその価格を決定するメカニズムです。正式には、次の 2 つの機能で表されます。

• 取引確率関数は、品物が売り手から買い手へ譲渡される確率を決定します (決定論的メカニズムでは、この確率は 0 または 1 ですが、形式論ではランダムなメカニズムも許可されます)。${\displaystyle t(v'_{B},v'_{S})}$
• 価格関数は、ボブがサリーに支払うべき価格を決定します。報告された値は実際の値と等しくないため、 でマークされていることに注意してください。${\displaystyle p(v'_{B},v'_{S})}$${\displaystyle v'}$

啓示原理のおかげで、メカニズムが直接的であるという仮定は一般性を失わないことに注意してください。

すべてのエージェントは自分の価値とメカニズムを知っています。したがって、すべてのエージェントは取引から期待される利益を計算できます。均衡において真実であるメカニズムに興味があるので、各エージェントは他のエージェントが真実であると想定していると仮定します。したがって、

• サリーにとって、期待される利益は、期待される支払いから、対象物を渡すことで期待される損失を差し引いたものです。

${\displaystyle U_{S}(v_{S},v'_{S})=\int _{u_{B}={\underline {B}}}^{\overline {B}}p(v'_{S},u_{B})f_{B}(u_{B})\,du_{B}-v_{S}\int _{u_{B}={\underline {B}}}^{\overline {B}}t(v'_{S},u_{B})f_{B}(u_{B})\,du_{B}}$

• ボブにとって、期待利益は、オブジェクトを取得することで期待される利益から期待される支払いを差し引いたものです。

${\displaystyle U_{B}(v_{B},v'_{B})=v_{B}\int _{u_{S}={\underline {S}}}^{\overline {S}}t(u_{S},v'_{B})f_{S}(u_{S})\,du_{S}-\int _{u_{S}={\underline {S}}}^{\overline {S}}p(u_{S},v'_{B})f_{S}(u_{S})\,du_{S}}$

マイヤーソンとサッタースウェイトは、理想的なメカニズムが満たすべき以下の要件を研究しています。

1. 個人的合理性(IR): ボブとサリーの両方の期待値は非負である必要があります (参加する初期のインセンティブを持つため)。正式には、およびです。${\displaystyle U_{S}(v_{S},v_{S})\geq 0}$${\displaystyle U_{B}(v_{B},v_{B})\geq 0}$
2. 弱い均衡予算(WBB): 競売人は、取引を補助するために自国から資金を持ち込む必要はありません。
3. ナッシュ均衡 誘因適合性(NEIC): すべてのエージェントにとって、他のエージェントが真の値を報告した場合、最善の対応は、自分も真の値を報告することです。言い換えれば、誰も嘘をつきたくはないはずです。正式には、そして。${\displaystyle \forall v'_{s}:U_{S}(v_{S},v_{S})\geq U_{S}(v_{S},v'_{S})}$${\displaystyle \forall v'_{B}:U_{B}(v_{B},v_{B})\geq U_{B}(v_{B},v'_{B})}$
4. 事後パレート効率(PE): アイテムは、それを最も高く評価するエージェントに最終的に与えられるべきです。正式には、の場合、かつ の場合です。${\displaystyle t(v_{B},v_{S})=1}$${\displaystyle v_{B}>v_{S}}$${\displaystyle t(v_{B},v_{S})=0}$${\displaystyle v_{B}<v_{S}}$

次の 2 つの仮定が正しい場合:

• 区間と には空でない交差があります。${\displaystyle [{\underline {B}},{\overline {B}}]}$${\displaystyle [{\underline {S}},{\overline {S}}]}$
• 評価の確率密度は、それらの間隔では厳密に正になります。

そうすると、上記の 4 つの特性 (IR、WBB、NEIC、PE) を満たすメカニズムは存在しません。

Myerson-Satterthwaite 設定のさまざまなバリエーションが研究されてきました。

1. マイヤーソンとサッタースウェイトは、買い手と売り手がそれぞれ1人ずつの場合を想定した。買い手と売り手の数が多い場合、非効率性は漸近的に消失する。^[2]しかし、これは私的財の場合のみに当てはまり、公共財の場合は、エージェントの数が多くなると非効率性が悪化する。^{[3] [4]}
2. マイヤーソンとサッタースウェイトは、当初は一方の当事者が財の100％を所有し、もう一方の当事者が財の0％を所有するという意味で、非対称な初期状況を考慮しました。事後的な効率性は、当初両当事者が取引される財の50％を所有している場合に達成できることが示されています。^{[5] [6]}
3. 後者の結果は、当事者が自身の評価を高めるために観察不可能な事前投資を行うことができる状況にまで拡張されている。^{[7] [8]}しかし、売り手の観察不可能な投資が買い手の評価を高める場合、たとえ買い手だけが自分の評価に関する私的情報を持っているとしても、事後的な効率性は達成されない。^{[9] [10]}
4. 一方のみがその評価に関する秘密情報を持っているというもう一つの不可能性の結果は、外部オプションのペイオフが外生的に与えられていない場合に成り立つことが示される。^[11]

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