反復測定のためのマルチレベルモデリング

マルチレベルモデリング（MLM）の応用例の1つは、反復測定データの分析です。反復測定データのマルチレベルモデリングは、時間の経過に伴う変化のモデリング（縦断的デザインの成長曲線モデリングなど）の文脈で最もよく議論されますが、時間が要因ではない反復測定データにも使用できます。^[1]

マルチレベル モデリングでは、全体的な変化関数 (線形、二次、三次など) がサンプル全体に当てはめられ、クラスター化されたデータのマルチレベル モデリングと同様に、傾きと切片が変化することが許可されます。たとえば、年齢による収入の増加を調べる調査では、個人は時間の経過とともに線形に改善すると想定されます。ただし、正確な切片と傾きは個人間で変化することが許可されます (つまり、ランダム係数として定義されます)。

反復測定によるマルチレベルモデリングでは、クラスター化データによる MLM と同じ統計手法が使用されます。反復測定データのマルチレベルモデリングでは、測定機会がケース (個人または被験者など) 内にネストされます。したがって、レベル 1ユニットは各被験者の反復測定で構成され、レベル 2ユニットは個人または被験者です。全体的なパラメータ推定値の推定に加えて、MLM では個人レベルで回帰方程式を使用できます。したがって、成長曲線モデリング手法として、分散と共分散をモデリングすることにより、時間の経過に伴う個人内変化の個人間差異を推定できます。^[2]言い換えると、時間の経過に伴う応答パターン (つまり、成長曲線) の個人差をテストできます。マルチレベルモデリングのこの特性により、特定の研究質問に対しては、反復測定分散分析 (RM-ANOVA) などの他の反復測定統計手法よりもマルチレベルモデリングが適しています。

クラスター化されたデータに適用される MLM の仮定は、反復測定にも適用され ます。

（１）ランダム成分は平均がゼロの正規分布に従うと仮定される

（２）従属変数は正規分布していると仮定する。しかし、バイナリ従属変数や離散従属変数は、特殊な手順（異なるリンク関数を使用するなど）を使用してMLMで調べられる場合がある。^[3]

成長曲線モデリングにMLMを使用する際の仮定の1つは、すべての被験者が時間の経過とともに同じ関係（線形、二次など）を示すことです。成長曲線モデリングにおけるMLMのもう1つの仮定は、観察された変化が時間の経過に関連しているということです。^[4]

数学的には、反復測定によるマルチレベル分析は、被験者がグループにまとめられているデータの分析と非常に似ています。ただし、注意すべき点の 1 つは、傾向分析を評価し、反復測定の全体的なテストを取得するには、時間関連の予測子をモデルに明示的に入力する必要があることです。さらに、これらの分析の解釈は、時間変数のスケール (つまり、コード化方法) に依存します。

• 固定効果:被験者全体を平均して、被験者が時間の経過とともにどのように変化するかを表す全体的な方程式に対して、固定回帰係数が得られる場合があります。
• ランダム効果:ランダム効果は、各被験者の予測変数と Y の関係を個別に測定することで生じる分散成分です。これらの分散成分には、(1) 被験者レベルでのこれらの方程式の切片の差、(2) 被験者間でのこれらの方程式の傾きの差、(3) すべての被験者間での被験者の傾きと切片の共分散が含まれます。ランダム係数が指定されると、各被験者に独自の回帰方程式が与えられ、被験者の平均値や応答パターンが時間の経過とともに異なるかどうかを評価できるようになります。
• 推定手順と比較モデル:これらの手順は、対象がグループにまとめられるマルチレベル分析で使用される手順と同じです。

• 非線形トレンドのモデリング（多項式モデル）:

• MLM では、時間の積 (TimeXTime、TimeXTimeXTime など) をランダム効果または固定効果としてモデルに追加することで、非線形傾向 (2 次、3 次など) を評価できます。

• モデルへの予測子の追加:ランダムな分散 (つまり、個人差に関連する分散) の一部は、時間以外の固定予測子に起因する可能性があります。RM-ANOVA とは異なり、マルチレベル分析では連続予測子 (カテゴリのみではなく) を使用できます。これらの予測子は、切片の個人差や傾きの差を考慮する場合と考慮しない場合があります。さらに、マルチレベル モデリングでは、時間によって変化する共変量も使用できます。
• 代替仕様:

• 共分散構造:マルチレベル ソフトウェアでは、マルチレベル データ (自己回帰など) の分析用に、いくつかの異なる共分散またはエラー構造を選択できます。これらは、必要に応じて成長モデルに適用できます。

• 従属変数:二値従属変数は、より専門的な分析 (ロジットまたはプロビットリンク関数の使用など) を使用して、マルチレベル分析で分析できます。

反復測定分散分析（RM-ANOVA）は、反復測定デザインの分析に伝統的に使用されてきました。しかし、RM-ANOVAの仮定に違反すると問題が生じる可能性があります。マルチレベルモデリング（MLM）は、RM-ANOVAに比べて3つの主な利点があり、この種のデータを分析するための代替アプローチを提供するため、反復測定デザインによく使用されます。^[5]

1. MLM はそれほど厳密な仮定を必要としない: RM-ANOVA で定数分散 (分散の均一性、または等分散性)、定数共分散 (複合対称性)、または差異スコアの定数分散 (球面性)の仮定が満たされない場合、MLM を使用することができます。MLM では、データから分散共分散行列をモデル化できるため、RM-ANOVA とは異なり、これらの仮定は必要ありません。^[6]

2. MLM は階層構造を可能にします: MLM は高次のサンプリング手順に使用できますが、RM-ANOVA は 2 レベルのサンプリング手順の調査に限定されています。つまり、MLM は被験者内、第 3 レベルの分析内などでの反復測定を調べることができますが、RM-ANOVA は被験者内の反復測定に限定されています。

3. MLM は欠損データを処理できます: MLM では欠損データが許可されますが、追加の複雑さは生じません。RM-ANOVA では、被験者のデータが 1 つのデータ ポイントでも欠損している場合は除外する必要があります。欠損データと欠損データの解決の試み (欠損していないデータに被験者の平均を使用するなど) は、RM-ANOVA で追加の問題を引き起こす可能性があります。

4. MLM は、データ収集の正確なタイミングにばらつきがあるデータ(つまり、可変タイミングと固定タイミング) も処理できます。たとえば、縦断的研究のデータでは、生後 6 か月、9 か月、12 か月、15 か月で測定値を収集しようとする場合があります。ただし、参加者の都合、銀行休業日、その他のスケジュール上の問題により、データ収集のタイミングにばらつきが生じる可能性があります。このばらつきは、MLM で回帰方程式に「年齢」を追加することで対処できます。また、MLM では測定ポイント間の間隔を等しくする必要もありません。

5. MLMは離散データに比較的簡単に拡張できる。 ^[7]

注: MLMでは欠損データは許容されますが、欠損はランダムに発生するものと想定されます。したがって、体系的に欠損したデータは問題を引き起こす可能性があります。^{[5] [8] [9]}

成長曲線分析の代替方法として、構造方程式モデリング（SEM）を使用した潜在成長曲線モデリングがあります。このアプローチは、モデルがSEMで同じように指定されている場合、マルチレベルモデリングアプローチと同じ推定値を提供します。ただし、MLMまたはSEMのいずれかが望ましい状況もあります。^{[4] [6]}

マルチレベルモデリングアプローチ:

• 時間点間の不等間隔が多数ある設計の場合（SEM では時間点の変動が大きいデータを管理できません）
• 被験者ごとにデータポイントが多い場合
• 成長モデルが追加の分析レベル（つまり階層構造）にネストされている場合
• マルチレベルモデリングプログラムには、非連続従属変数（リンク関数）の処理と異なるエラー構造の許可に関して、より多くのオプションがあります。

構造方程式モデリングアプローチ:

• モデルがより大きなパス モデルに埋め込まれている拡張モデルや、切片と傾きが他の変数の予測子として使用されている拡張モデルに適しています。このように、SEM では柔軟性が向上します。

マルチレベル モデリングと潜在成長曲線分析の区別は、あまり明確ではなくなりました。統計プログラムの中には、構造方程式モデリング ソフトウェア内にマルチレベル機能を組み込んでいるものもあり、また、マルチレベル モデリング ソフトウェアの中には、潜在成長曲線機能を追加し始めているものもあります。

反復測定データを使用したマルチレベル モデリングは、計算が複雑です。これらの分析を実行できるコンピューター ソフトウェアでは、分析前にデータを「ワイド形式」ではなく「ロング形式」で表す必要があります。ロング形式では、各被験者のデータが複数の行で表されます。つまり、各「時間」ポイント (従属変数の観測) ごとに 1 行です。これは、被験者ごとに 1 行あり、反復測定が別々の列で表されているワイド形式とは対照的です。また、ロング形式では、時間不変変数が各被験者の行で繰り返されることにも注意してください。ワイド形式のデータをロング形式に転置した例については、以下を参照してください。

ワイドフォーム：

長い形式:

• マルチレベルモデル
• 反復測定デザイン
• 成長曲線
• 構造方程式モデリング
• 縦断的研究

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