モルワイデの式

三角法において、モルワイデの公式は三角形の辺と角度の関係を表す。^{[1] [2]}

より幾何学的なスタイルによる変種は、 1707年にアイザック・ニュートンによって最初に発表され、その後1746年にフリードリヒ・ヴィルヘルム・フォン・オッペル [ドイツ]によって発表された。トーマス・シンプソンは、現在標準的な表現を1748年に発表した。カール・モルワイデは、 1808年にこれらの先行者を引用せずに同じ結果を再発表した。^[3]

これは三角形の解の一貫性をチェックするために使用できます。^[4]

三角形の3辺の長さをと とする。3辺に対向する角度を と とする。モルワイデの公式 は${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }}.\end{aligned}}}$

平面三角形では、これらの等式は、球面三角形に対するネイピアの類推のより明確な限定的なケースである形で記述することもできる（これはフォン・オッペルが使用した形式である）。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma ={\tfrac {1}{2}}\pi -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}}$

一方を他方で割って消去すると、接線の法則が成立します。 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$

半角正接のみで考えると、モルワイデの公式は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\end{aligned}}}$

または同等

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta &={\frac {a+b-c}{a+b+c}},\\[10mu]{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}&={\frac {{\phantom {-}}a-b+c}{-a+b+c}}.\end{aligned}}}$

これらの等式のそれぞれの辺を掛け合わせると、3辺の1つの半角の接線が得られる。

${\displaystyle {\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\bigr )}^{2}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}}.}$

これは平方根を取った後に 余接の法則となり、

${\displaystyle {\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{s-a}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }{s-b}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{s-c}}={\sqrt {\frac {s{\vphantom {)}}}{(s-c)(s-b)(s-a)}}},}$

半周長はどこですか。 ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

これらの等式は正弦定理や余弦定理と同等であることが証明できます。

球面三角法では、余弦定理やネイピアの類推などの導来恒等式は、辺を測定する中心角と頂点の二面角を入れ替えた正確な双対を持ちます。無限小の極限では、辺の余弦定理は平面余弦定理に簡約され、ネイピアの類推のうち 2 つは上記のモルワイデの公式に簡約されます。しかし、角度の余弦定理は次のように退化します。辺の長さの 2 乗を球面余剰で割ると、非ゼロ比、つまり球面三角法の関係が得られます。 ${\displaystyle 0=0.}$${\displaystyle E,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\tan {\tfrac {1}{2}}E}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }}.\end{aligned}}}$

無限小の極限では、球面の辺の半角の接線が平面の辺の長さまで減少するため、球面の余剰分の半角の接線は平面三角形の面積の 2 倍まで減少します。そのため、平面上では次のようになります。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2A}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }},}$

同様に、および${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$

結果として（上記の式を および で乗算または除算すると）、モルワイデの公式に対する 2 つの双対ステートメントが得られます。1 つ目は 2 つの辺と内角で面積を表すもので、もう 1 つは正弦定理です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {ab}{2A}}={\frac {1}{\sin \gamma }},}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}.}$

2 番目の式を、モルワイデの公式 (これも接線法則) の 1 つに近い形式で表現することもできます。

${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}={\frac {a-b}{a+b}}.}$

モルワイデの公式の一般化は、円周四辺形 に対して成り立ちます。辺の長さと角の大きさを、対角線の交点をとすれば、次の式が成り立ちます。^[5]${\displaystyle \square ABCD.}$${\displaystyle |AB|=a,}$ ${\displaystyle |BC|=b,}$ ${\displaystyle |CD|=c,}$${\displaystyle |DA|=d}$${\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \angle {ABC}=\beta ,}$ ${\displaystyle \angle {BCD}=\gamma ,}$${\displaystyle \angle {CDA}=\delta .}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \angle {CED}=\theta .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

巡回四辺形恒等式に基づいて代入することで、いくつかの変形式を構築することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\phantom {-}}\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )={\phantom {-}}\sin {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\cos {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ),\\[3mu]\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=-\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )=-\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ).\end{aligned}}}$

隣接する 2 つの角度の半角正接に関する有理関係として、次の式を書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {b-d}{a-c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

三角形は、一辺の長さがゼロの四辺形とみなすことができます。この観点から、がゼロに近づくにつれて、巡回四辺形は三角形に収束し、上記の式は類似の三角形の式に簡略化されます。三角形の慣例に一致するようにラベルを付け直すと、極限と${\displaystyle d}$${\displaystyle \triangle A'B'C',}$${\displaystyle a'=b,}$ ${\displaystyle b'=c,}$ ${\displaystyle c'=a,}$ ${\displaystyle \alpha '=\alpha +\delta -\pi =\pi -\theta ,}$ ${\displaystyle \beta '=\beta ,}$${\displaystyle \gamma '=\gamma .}$

• De Kleine, H. Arthur (1988)、「言葉のない証明: モルワイデ方​​程式」、Mathematics Magazine、61 (5): 281
• カルジャント、ナタナエル (2011)、「三角法の指導におけるモルワイデの公式」、数学の指導とその応用、30 : 70–74、arXiv : 1808.08049、doi :10.1093/teamat/hrr008
• Wu, Rex H. (2007)、「モルワイデの物語といくつかの三角関数の恒等式」(PDF) (プレプ​​リント)
• ウー、レックス H. (2020)、「言葉のない証明: 正弦定理からのモルワイデ方​​程式」、数学雑誌、93 (5): 386、doi :10.1080/0025570X.2020.1817707