ミルズの定数

数論において、ミルズ定数は最小の正の実数として定義される。${\displaystyle A}$そのため

${\displaystyle \lfloor A^{3^{n}}\rfloor }$

すべての正の自然数にとって素数である。${\displaystyle n}$（どこ${\displaystyle \lfloor -\rfloor }$は床関数を表します。この定数は、1947年に存在を証明したウィリアム・ハロルド・ミルズにちなんで名付けられました。${\displaystyle A}$グイド・ホーハイゼルとアルバート・インガムによる素数ギャップに関する研究結果に基づく。^{[ 1 ]}その値は証明されていないが、リーマン予想が正しいとすれば、おおよそ次のようになる。

${\displaystyle 1.3063778838630806904686144926\dots }$

（ OEISの配列A051021）。

ミルズ定数によって生成される素数はミルズ素数として知られています。リーマン予想が正しい場合、数列は

${\displaystyle 2,11,1361,2521008887,16022236204009818131831320183,}$

${\displaystyle 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499,\ldots }$

（OEISの配列A051254）。もし${\displaystyle a_{i}}$は${\displaystyle i}$この数列の 番目の素数、${\displaystyle a_{i}}$は、 より大きい最小の素数として計算できます。${\displaystyle a_{i-1}^{3}}$丸めを確実にするために${\displaystyle A^{3^{n}}}$すべての人々のために${\displaystyle n\geq 1}$この素数列を生成する場合、次のことが成り立つはずです。${\displaystyle a_{i}<(a_{i-1}+1)^{3}}$ホーハイゼル・インガムの結果は、十分に大きな2つの立方数の間に素数が存在することを保証しており、十分に大きな最初の素数から始めれば、この不等式を証明するのに十分である。${\displaystyle a_{1}}$リーマン予想は、連続する任意の2つの立方数の間に素数が存在することを示唆しており、十分大きいという条件を取り除くことができ、ミルズ素数列は から始まることができる。${\displaystyle a_{1}=2}$。

すべての人にとって${\displaystyle a_{i}>e^{e^{32.537}}}$の間には少なくとも１つの素数が存在する。${\displaystyle a_{i}^{3}}$そして${\displaystyle (a_{i}+1)^{3}}$^{[ 2 ]}この上限は実用的には大きすぎる。なぜなら、その数値より小さいすべての数値をチェックすることは不可能だからである。しかし、ミルズ定数の値は、その数値より大きい数列の最初の素数を計算することによって検証することができる。

2017年4月現在、数列の11番目の数は素数であることが証明されている最大の数です。

${\displaystyle \displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220}$

桁数は20562桁です。^{[ 3 ]}

2024年現在、既知の最大のミルズ確率素数（リーマン予想の下で）は

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle &(((((((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+{}\\[3mu]&\qquad 70756)^{3}+97220)^{3}+66768)^{3}+300840)^{3}+1623568)^{3}+8436308\end{aligned}}}$

（OEISのシーケンスA108739）は、1,665,461桁の長さです。

ミルズ素数の列を計算することで、ミルズ定数を次のように近似することができる。

${\displaystyle A\approx a_{n}^{1/3^{n}}.}$

コールドウェルとチェンはこの方法を用いて、リーマン予想が正しいという仮定の下でミルズ定数の6850桁（10進数）を計算した。 ^{[ 4 ]}ミルズ定数には閉じた形式の公式は知られていないが、^{[ 5 ]}無理数であることは知られている。^{[ 6 ]}

中間指数が 3 であることに特別な意味はありません。異なる中間指数に対しても同様の素数生成関数を作成できます。実際、2.106... を超える任意の実数に対して、この中間指数で常に素数を生成するように機能する異なる定数A を見つけることができます。さらに、ルジャンドルの予想が正しい場合、中間指数は^{[ 7 ]}値 2 ( OEISのシーケンスA059784 )に置き換えることができます。

マトマキは、（ルジャンドルの予想を仮定することなく）無条件に（おそらく大きな）定数の存在を示した。${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle \lfloor A^{2^{n}}\rfloor }$すべての人にとって最高です${\displaystyle n}$[ ^{8 ]​}

さらに、トースは、式中の床関数を天井関数に置き換えることができることを証明し、定数が存在することを示しました。${\displaystyle B}$そのため

${\displaystyle \lceil B^{r^{n}}\rceil }$

また、 ${\displaystyle r>2.106,\ r\in N\dots }$^{[ 9 ]} このケースでは${\displaystyle r=3}$定数の値${\displaystyle B}$1.24055470525201424067...から始まります。最初に生成された素数は次のとおりです。

${\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots }$

リーマン予想を仮定せずに、エルショルツは、${\displaystyle \lfloor A^{10^{10n}}\rfloor }$はすべての正の整数nに対して素数であり、${\displaystyle A\approx 1.00536773279814724017}$そして、${\displaystyle \lfloor B^{3^{13n}}\rfloor }$はすべての正の整数nに対して素数であり、${\displaystyle B\approx 3.8249998073439146171615551375}$[ ^{10 ]​}

Duc-Son Tranは、上記のTóthの結果において、数rは任意の実数に置き換えることができることを証明した。${\displaystyle >8/3}$さらに彼は、任意の実数に対して、${\displaystyle B>1}$、ある数 r が存在して、${\displaystyle \lceil B^{r^{n}}\rceil }$ 素数表現でもある。^{[ 11 ]}

• 素数の公式

• Cheng, Yuan-you Fu-rui (2010). 「連続する立方数間の素数に関する明示的な推定」. Rocky Mountain Journal of Mathematics . 40 (1): 117– 153. doi : 10.1216/RMJ-2010-40-1-117 . MR 2607111 . 

• ワイススタイン、エリック・W. 「ミルズの定数」 . MathWorld .
• ミルズ番号を覚えている人はいますか？、E.コワルスキー。
• 素晴らしい素数定数、Numberphile。