蛇行

少なくとも 1 つの変曲点を持つ連続微分可能な曲線の蛇行度、蛇行度指数、または蛇行度係​​数は、曲線の端点間の曲線の長さ(曲線に沿って) とユークリッド距離(直線)の比です。この無次元量は、曲線の「実際の経路の長さ」を「最短経路の長さ」で割った値として言い換えることもできます。値の範囲は 1 (直線の場合) から無限大 (閉じたループの場合、実際の経路が無限に長い場合は最短経路の長さがゼロになります^{[ 1 ]} ) までです。

曲線は両端間で連続していなければなりません（不連続点がないこと）。直線が連続的に微分可能である場合（角点がない場合）、蛇行度は非常に重要になります。両端間の距離は、連続する変曲点を通る破線によって複数のセグメントに分割することで評価することもできます（蛇行度2次）。

蛇行度の計算は3次元空間（例えば小腸の中心軸）で有効ですが、多くの場合平面で行われます（その場合、選択した平面に曲線を直交投影することが可能です。水平面では「古典的な」蛇行度、垂直面では縦断面の蛇行度となります）。

蛇行の分類（強い／弱いなど）は、多くの場合、曲線の地図上の縮尺（詳細は海岸線のパラドックスを参照）と、そこを流れる物体の速度（川、雪崩、自動車、自転車、ボブスレー、スキーヤー、高速列車など）に依存します。同じ曲線であっても、高速列車にとっては非常に強い蛇行とみなされるかもしれませんが、川にとっては弱い蛇行とみなされるかもしれません。しかしながら、数本の川の曲がり角が連続する場合や、山道の曲がり角が連続する場合などには、非常に強い蛇行が見られることがあります。

以下の蛇行度S：

• 同一平面上に位置する2つの反転した連続半円は${\displaystyle S={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1.5708...}$円の半径とは無関係です。
• 正弦関数（ n個の半周期にわたる）は、それらの周期における正弦曲線の弧長を計算することによって求められ、${\displaystyle S=\textstyle {\tfrac {1}{n\pi }}\int _{0}^{n\pi }{\sqrt {1+(\cos x)^{2}}}dx\approx 1.216...}$

同じ平面上に類似した反対方向の弧の接合部があり、連続的に微分可能:

河川の研究において、蛇行度指数は上記の一般的な形式と似ているが同一ではなく、次のように表される。

${\displaystyle {\text{SI}}={\frac {\text{水路の長さ}}{\text{下流の長さ}}}}$

一般形との違いは、谷を下る経路が完全に直線ではないために生じます。したがって、蛇行指数は、最大下り勾配の方向によって定義される経路からのずれとして説明できます。このため、直接下り勾配を流れる岩盤河川の蛇行指数は1であり、蛇行河川の蛇行指数は1より大きくなります。^{[ 2 ]}

また、線上を流れる水流が物理的に両端間の距離を移動できない場合を区別することも可能です。一部の水理学的研究では、傾斜角が変化しても、水平な直線投影に沿って岩盤の上を流れる急流に対して、蛇行度を1と割り当てています。

河川における蛇行度（SI）の一般的な分類は以下のとおりです。

• SI <1.05: ほぼ直線
• 1.05 ≤ SI <1.25: 巻線
• 1.25 ≤ SI < 1.50: ねじれ
• 1.50 ≤ SI: 蛇行

河川の形状は、平均蛇行度（水路の長さではなく、水源から河口までの距離で測定）がπになる自己組織化システムによって支配されていると主張されてきたが、^{[ 3 ]}その後の研究では、平均値が2未満であることが判明し、この主張は裏付けられなかった。^{[ 4 ]}

• 曲率
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