マルグラーブの公式

数理ファイナンスにおいて、マルグラーブの公式^[1]は、満期時に1つのリスク資産を別のリスク資産と交換するオプションに適用できるオプション価格設定公式である。これは、1978年にウィリアム・マルグラーブ（シカゴ大学博士）によって導き出された。マルグラーブの論文は、その後2000を超える論文で引用されている。^[2]

S ₁ (t)とS ₂ (t) が、時刻tにおける 2 つのリスク資産の価格であり、それぞれが一定の連続配当利回りq _{i を}持っているとします。価格設定したいオプションCは、満期日Tに 2 番目の資産を最初の資産と交換する権利を買い手に与えますが、義務は与えません。言い換えると、そのペイオフC(T)は max(0, S ₁ (T) - S ₂ (T))です。

Siのボラティリティがσ _iの場合、 となります。ここで、ρはSiの_ブラウン運動のピアソンの相関係数_です。 ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}$

マルグレーブの公式によれば、0 時点でのオプションの公正価格は次のようになります。

${\displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}$

どこ：

${\displaystyle q_{1},q_{2}}$適切なリスク中立尺度に基づく価格の予想配当率である。${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle N}$は標準正規分布の累積分布関数を表し、

${\displaystyle d_{1}=(\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}}$、

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$。

マルグレーブの市場モデルは、2 つのリスク資産の存在のみを想定しており、その価格は、通常どおり幾何ブラウン運動に従うと想定されています。これらのブラウン運動のボラティリティは一定である必要はありませんが、S ₁ /S ₂のボラティリティσが一定であることは重要です。特に、このモデルは、リスクのない資産 (ゼロクーポン債など) やあらゆる種類の金利の存在を想定していません。このモデルでは、同等のリスク中立確率測度は必要ありませんが、 S ₂の下での同等の測度が必要です。

この式は、状況をブラック・ショールズ式を適用できる状況にまで縮小することですぐに証明されます。

• まず、両方の資産がS ₂単位で価格設定されているとします(これは「S _{2 を}単位として使用する」と呼ばれます)。つまり、最初の資産の単位は現在、2 番目の資産のS ₁ /S ₂単位の価値があり、2 番目の資産の単位は 1 の価値があります。
• このニューメレール価格設定の変更により、2 番目の資産はリスクのない資産となり、その配当率q ₂が金利となります。このニューメレールの変更により価格が再設定されたオプションのペイオフは、 max(0, S ₁ (T)/S ₂ (T) - 1)となります。
• したがって、元のオプションは、リスクのない資産の 1 ユニットの行使価格を持つ最初の資産のコール オプション (ニューメレール価格設定) になりました_。価格設定が変更されても同じままであることに注意してください。
• これらの値を適切な入力（初期資産価値S ₁ (0)/S ₂ (0)、金利q ₂、ボラティリティσなど）としてブラック・ショールズ式を適用すると、ニューメレール価格設定によるオプションの価格が得られます。
• 結果として得られるオプション価格はS ₂単位なので、 S ₂ (0)を掛けると、通貨単位の変更が取り消され、元の通貨での価格、つまり上記の式が得られます。あるいは、ギルサノフの定理で示すこともできます。

注記

主な参考文献

• ウィリアム・マーグレイブ、「ある資産を別の資産と交換するオプションの価値」、Journal of Finance、第33巻第1号、（1978年3月）、177-186ページ。

議論

• マーク・デイビス、インペリアル・カレッジ・ロンドン、マルチアセットオプション
• ロルフ・ポールセン、ヨーテボリ大学、マルグラーベ式