マルス・デュパンの定理

マルス＝デュパンの定理は、1808年にエティエンヌ＝ルイ・マルスによって発見され^[1]、1822年にシャルル・デュパンによって解明された幾何光学の定理である。 ^[2]ハミルトンは、ハミルトン光学法の単純な応用としてこれを証明した。^{[3] [4]}

均質な媒体にある、ある表面に対して垂直な光線束を考えてみましょう。光線束を任意の回数反射と屈折に通し、別の均質な媒体に放出します。定理によれば、結果として得られる光線束は、依然として別の表面に対して垂直です。

いくつかの光線束はどの面に対しても垂直ではありません。これは接触幾何学に関係しています。

たとえば、R ³上の標準的な接触構造を考えてみましょう。これは、無限小平面のフィールドとして理解できます。次に、すべての無限小平面に垂直に光線を描きます。これにより、「平面ねじれ」光線束が得られます。光線束に垂直な面は存在しません。すべての無限小平面に接する面が存在しないからです。

あると仮定して、xy 平面に微小な正方形を描き、表面に沿った経路をたどります。経路は 1 周した後、同じ z 座標に戻りません。矛盾です。

同様に、円形の鉛筆の列をネストして、それぞれが 1 枚の双曲面を構成することもできます。結果として得られる「ねじれた円筒」鉛筆は、どの面に対しても垂直にはなりません。

マルス・デュパンの定理は、いかなる反射や屈折によっても、そのような光線束を平行光線束、一点に収束する光線束、または表面に対して垂直な光線束に変換することはできないことを示唆しています。

光線束が与えられたとき、光線束は最初は面mに垂直であると仮定する。^[5]

光線束を任意の反射および屈折物質系に通します。説明のために、点 A と点 A' で屈折し、点 B と点 B' で反射し、点 C と点 C' で屈折する 2 つの光線を考えます。

次に、鉛筆から 2 本の光線 [MABCP] と [M'A'B'C'P'] を引きます。2 本の光線がそれぞれ点 M と点 M' で m に垂直になるようにします。

[MABCP]と[M'A'B'C'P']が同じ光路を持つように点P'を選択します。すると、等しい光路を持つすべてのP、P'の集合は曲面pを形成します。

ハミルトン光学では、現代の幾何力学のスタイルでより概念的な証明があり、それは次のように進められます。^[4]

• 方向付けられた線（光線）の4 次元シンプレクティック多様体を構築します。
• 光線束が表面に対して垂直である場合、この光線束はラグランジアン部分多様体であり、その逆も同様です。
• すべての屈折面と反射面は多様体上のシンプレクト同相写像です。
• シンプレクトモフィズムはラグランジアン部分多様体を保存します。