マクローリン回転楕円体

マクローリン回転楕円体は、均一な密度の自己重力流体体が一定の角速度で回転するときに生じる扁平な回転楕円体です。この回転楕円体は、 1742年に地球の形状を定式化したスコットランドの 数学者 コリン・マクローリンにちなんで名付けられました。 ^{[1]実際には、地球は均質ではなく、高密度の鉄の核を持っているため、地球の形状はマクローリンの公式が示すよりもはるかに扁平ではありません。マクローリン回転楕円体は均一な密度を仮定しているため、}静水圧平衡 にある回転楕円体の最も単純なモデルであると考えられています。

赤道長半径と極短半径を持つ回転楕円体の場合、角速度はマクローリンの公式^[2]で与えられる。${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\sin ^{-1}e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},}$

ここで、は回転楕円体の子午線断面の離心率、は密度、は重力定数です。この式は、のときに球（ ）に近づく平衡図と、 のときに非常に平坦な回転楕円体（）に近づく平衡図の 2 つの可能性を予測します。最大角速度は離心率で発生し、その値は です。したがって、この速度を超えると平衡図は存在しません。角運動量は ${\displaystyle e}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\rightarrow 0}$${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$${\displaystyle e\rightarrow 1}$${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$${\displaystyle e=0.92996}$${\displaystyle \Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}}$

ここで、は回転楕円体の質量、 は平均半径、つまり回転楕円体と同じ体積の球の半径 です。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {a}}}$

離心率が0.812670より大きいマクローリン回転楕円体の場合、^[3]同じ角運動量のヤコビ楕円体の全エネルギーは低くなります。このような回転楕円体が粘性流体で構成されている場合（または重力輻射反応がある場合）、回転対称性を破る摂動を受けると、余分なエネルギーを熱（または重力波）として散逸させながら、徐々にヤコビ楕円体の形に伸びます。これは永年不安定性と呼ばれます。ロバーツ・スチュワートソン不安定性およびチャンドラセカール・フリードマン・シュッツ不安定性を参照してください。ただし、非粘性流体で構成された同様の回転楕円体（または輻射反応がない場合）の場合、摂動は減衰のない振動を引き起こすだけです。これは動的（または通常の）安定性として説明されます。

離心率が0.952887を超えるマクローリン球体^[3]は動的に不安定である。たとえそれが非粘性流体で構成され、エネルギーを失う手段がなかったとしても、適切な摂動は（少なくとも最初は）指数関数的に増大する。動的不安定性は永年不安定性を意味する（そして永年安定性は動的安定性を意味する）。^[4]

• ヤコビ楕円体
• 球状体
• 楕円