線形・二次・ガウス制御

制御理論において、線形–二次–ガウス( LQG )制御問題は最も基本的な最適制御問題の 1 つであり、モデル予測制御のために繰り返し実行することもできます。これは、加法性ホワイト ガウス ノイズによって駆動される線形システムに関するものです。問題は、二次コスト基準の期待値を最小化するという意味で最適な出力フィードバック則を決定することです。出力測定値はガウス ノイズによって破損していると想定され、初期状態も同様にガウス ランダム ベクトルであると想定されます。

これらの仮定の下では、線形制御則のクラス内で最適な制御方式を平方完成論法によって導くことができる。^[1] LQGコントローラとして知られるこの制御則は独特で、カルマンフィルタ(線形–二次状態推定器 (LQE)) と線形–二次レギュレータ(LQR) を単純に組み合わせたものである。分離原理によれば、状態推定器と状態フィードバックは独立に設計できる。LQG 制御は、線形時間不変システムと線形時間変動システムの両方に適用され、簡単に計算および実装できる線形動的フィードバック制御則を構成する。LQG コントローラ自体は、制御するシステムと同様に動的システムである。両方のシステムの状態次元は同じである。

分離原理のより深い記述は、LQG コントローラは、より広いクラスの非線形コントローラでも最適であるということです。つまり、非線形制御方式を使用しても、コスト関数の期待値は向上しません。このバージョンの分離原理は、プロセスおよび出力ノイズ源が非ガウスマルチンゲールである可能性がある場合でも、システムダイナミクスが線形である限り、最適制御は最適状態推定器 (カルマンフィルタではなくなる可能性があります) と LQR レギュレータに分離することを規定する確率制御の分離原理の特殊なケースです。^{[2] [3]}

古典的な LQG 設定では、システム状態の次元が大きい場合、LQG コントローラの実装に問題が生じる可能性があります。低次元 LQG 問題(固定次元 LQG 問題)は、LQG コントローラの状態数を事前に固定することで、この問題を克服します。この問題は分離不可能なため、解決がより困難になります。また、解は一意ではなくなります。これらの事実にもかかわらず、局所的に最適な低次元 LQG コントローラの必要十分条件を構成する関連する最適射影方程式^{[8] [9]を解くための数値アルゴリズムが利用可能です [4 ] [5] [6] [7] 。 [4]}

LQG最適性は、自動的に優れた堅牢性を保証するものではありません。^{[10] [11]}閉ループシステムの堅牢な安定性は、LQGコントローラの設計後に個別に確認する必要があります。堅牢性を高めるために、システムパラメータの一部は決定論的ではなく確率的であると仮定される場合があります。関連するより困難な制御問題は、コントローラパラメータのみが異なる同様の最適コントローラにつながります。^[5]

最適なゲインやその他の安定したゲインのコスト関数の期待値を計算することが可能です。^[12]

LQGコントローラは、摂動を受けた非線形システムの制御にも使用されます。^[13]

連続時間線形動的システム を考える

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),}$

ここで、はシステムの状態変数のベクトル、制御入力のベクトル、およびフィードバックに使用できる測定出力のベクトルを表します。加法性ホワイト ガウス システム ノイズと加法性ホワイト ガウス測定ノイズの両方がシステムに影響します。このシステムでは、次のコスト関数が最小化されるように、常に過去の測定値のみに線形に依存する制御入力履歴を見つけることが目的です。 ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$${\displaystyle {\mathbf {u} }}$${\displaystyle {\mathbf {y} }}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }t}$${\displaystyle {\mathbf {y} }(t'),0\leq t'<t}$

${\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],}$

${\displaystyle F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,}$

ここで、 は期待値を表します。最終時間 (期間) は有限または無限のいずれかになります。期間が無限に近づくと、コスト関数の最初の項は無視できるほど小さくなり、問題とは無関係になります。また、コストを有限に保つには、コスト関数を とする必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle {\mathbf {} }T}$${\displaystyle {\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)}$${\displaystyle {\mathbf {} }J/T}$

LQG 制御問題を解く LQG コントローラは、次の式で指定されます。

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).}$

行列は、最初の方程式で表される関連するカルマン フィルタのカルマン ゲインと呼ばれます。このフィルタは、過去の測定値と入力を使用して、毎回状態の推定値を生成します。カルマン ゲインは、行列、白色ガウス ノイズに関連付けられた2 つの強度行列、およびから計算されます。これらの 5 つの行列は、次の関連する行列リカッチ微分方程式を通じてカルマン ゲインを決定します。 ${\displaystyle {\mathbf {} }L(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {x} }(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }L(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }A(t),C(t)}$${\displaystyle \mathbf {} V(t),W(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right]}$

${\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),}$

${\displaystyle P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].}$

解が与えられた場合、カルマンゲインは ${\displaystyle P(t),0\leq t\leq T}$

${\displaystyle {\mathbf {} }L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).}$

この行列はフィードバック ゲイン行列と呼ばれます。この行列は、行列と次の関連行列リカッチ微分方程式によって決定されます。 ${\displaystyle {\mathbf {} }K(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }F}$

${\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),}$

${\displaystyle {\mathbf {} }S(T)=F.}$

解が与えられれば、フィードバックゲインは ${\displaystyle {\mathbf {} }S(t),0\leq t\leq T}$

${\displaystyle {\mathbf {} }K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).}$

2 つの行列リカッチ微分方程式の類似性に注目してください。最初の方程式は時間的に順方向に進み、2 番目は時間的に逆方向に進みま す。この類似性は双対性と呼ばれます。最初の行列リカッチ微分方程式は、線形 2 次推定問題 (LQE) を解きます。2 番目の行列リカッチ微分方程式は、線形 2 次レギュレータ問題 (LQR) を解きます。これらの問題は双対であり、一緒に線形 2 次ガウス制御問題 (LQG) を解きます。したがって、LQG 問題は、独立して解くことができる LQE 問題と LQR 問題に分離します。したがって、LQG 問題は分離可能と呼ばれます。

およびノイズ強度行列 がに依存せず、が無限大に近づくと、 LQG コントローラは時間不変の動的システムになります。その場合、2 番目の行列リカッチ微分方程式は、関連する代数リカッチ方程式に置き換えることができます。 ${\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)}$${\displaystyle \mathbf {} V(t)}$${\displaystyle \mathbf {} W(t)}$${\displaystyle {\mathbf {} }t}$${\displaystyle {\mathbf {} }T}$

離散時間LQG 制御問題は連続時間の問題と似ている ため、以下の説明では数式に焦点を当てます。

離散時間線形システム方程式は

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{i+1}=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i},}$

${\displaystyle \mathbf {y} _{i}=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}.}$

ここで、離散時間インデックスを表し、はそれぞれ共分散行列を持つ離散時間ガウス白色ノイズ過程を表し、互いに独立しています。 ${\displaystyle \mathbf {} i}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {} V_{i},W_{i}}$

最小化すべき二次コスト関数は

${\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i})\right],}$

${\displaystyle F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,}$

離散時間LQGコントローラは

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i+1}=A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}{\mathbf {u} }_{i}+L_{i+1}\left({\mathbf {y} }_{i+1}-C_{i+1}\left\{A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}\right\}\right),\qquad {\hat {\mathbf {x} }}_{0}=\mathbb {E} [{\mathbf {x} }_{0}]}$、

${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=-K_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,}$

予測推定値に対応します。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}=\mathbb {E} [\mathbf {x} _{i}|\mathbf {y} ^{i},\mathbf {u} ^{i-1}]}$

カルマンゲインは

${\displaystyle {\mathbf {} }L_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},}$

ここで、は時間的に前進する次の行列リカッチ差分方程式によって決定されます。 ${\displaystyle {\mathbf {} }P_{i}}$

${\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},\qquad P_{0}=\mathbb {E} [\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)^{\mathrm {T} }].}$

フィードバックゲイン行列は

${\displaystyle {\mathbf {} }K_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}}$

ここで、は、時間を遡って実行される次の行列リカッチ差分方程式によって決定されます。 ${\displaystyle {\mathbf {} }S_{i}}$

${\displaystyle S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},\quad S_{N}=F.}$

問題の定式化におけるすべての行列が時間不変であり、地平線が無限大に近づく場合、離散時間 LQG コントローラは時間不変になります。その場合、行列リカッチ差分方程式は、関連する離散時間代数リカッチ方程式に置き換えることができます。これらは、離散時間における時間不変線形 2 次推定量と時間不変線形 2 次レギュレータを決定します。この場合、 コストを ではなく有限に保つには、を考慮する必要があります。${\displaystyle {\mathbf {} }N}$${\displaystyle {\mathbf {} }J}$${\displaystyle {\mathbf {} }J/N}$

• 確率的制御
• ヴィッツェンハウゼンの反例

• ステンゲル、ロバート F. (1994)。最適制御と推定。ニューヨーク: ドーバー。ISBN 0-486-68200-5。