ラインサンプリング

ラインサンプリングは、信頼性工学において、工学システムで発生する小さな（つまりまれな事象の）故障確率を計算するために使用される手法です。この手法は、特に、性能関数が不確実なパラメータに関して中程度の非線形性を示す高次元の信頼性問題に適しています^{[ 1 ]。}この手法はブラックボックスシステムの分析に適しており、分散低減の重要度サンプリング法とは異なり、システムの詳細な知識を必要としません。

ラインサンプリングの基本的な考え方は、限界状態関数の非線形性により不正確になる可能性のある一次信頼性法（FORM）から得られる推定値を改良することです。概念的には、これは異なるFORMシミュレーションの結果を平均化することによって実現されます。実際には、これは重要方向を特定することによって可能になります。${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ 入力パラメータ空間において、全体の故障確率に最も大きく寄与する領域を指す重要度方向。重要度方向は、故障領域の重心、または確率密度が最も高い故障点と密接に関連している。故障点は、問題の確率変数が標準正規空間に変換されたときに、限界状態関数の原点に最も近い点に位置することが多い。重要度方向が故障領域を指すように設定されると、標準正規空間からサンプルがランダムに生成され、重要度方向に平行な線が引かれ、限界状態関数までの距離が計算される。これにより、各サンプルの故障確率を推定できる。これらの故障確率を平均することで、より精度の高い推定値が得られる。

まず、重要度の方向を決定する必要があります。これは、設計点、または限界状態関数の勾配を求めることによって実現できます。

標準正規空間においてモンテカルロシミュレーションを用いてサンプルセットが生成される。各サンプルについて${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$重要な方向に平行な線における故障確率は、次のように定義されます。

${\displaystyle p_{f}({\boldsymbol {x}})=\int _{-\infty }^{+\infty }I({\boldsymbol {x}}+\beta \cdot {\boldsymbol {\alpha }})\varphi (\beta )\,d\beta }$

どこ${\displaystyle I(\cdot )}$ 故障の原因となったサンプルについては1、それ以外の場合は0となる。

${\displaystyle I_{f}({\boldsymbol {x}})={\begin{cases}1&{\text{if }}{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{f}\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ 重要な方向性は、${\displaystyle \varphi }$ はガウス分布の確率密度関数です（そして${\displaystyle \beta }$ は実数です。実際には、各線に沿った部分的な故障確率を推定するために、非線形関数の根を見つける必要があります。これは、線に沿っていくつかのサンプルを補間するか、ニュートン・ラフソン法を使用することによって行われます。

全体的な故障確率は、以下の線における故障確率の平均値です。

${\displaystyle {\tilde {p}}_{f}={\frac {1}{N_{L}}}\sum _{i=1}^{N_{L}}p_{f}^{(i)}}$

どこ${\displaystyle N_{L}}$ は解析で使用された行の総数であり、${\displaystyle p_{f}^{(i)}}$ これらは、すべての線路に沿って推定された部分的な故障確率です。

性能関数の依存性が、確率変数としてモデル化されたパラメータに対して中程度の非線形性しか持たない問題では、重要度の方向を基礎となる標準正規空間における性能関数の勾配ベクトルとして設定することで、非常に効率的なラインサンプリングが可能になります。一般に、ラインサンプリングによって得られる分散は、従来のモンテカルロシミュレーションによって得られる分散よりも常に小さいことが示されており、そのためラインサンプリングアルゴリズムはより速く収束します。^{[ 1 ]}最近の進歩により、シミュレーション全体を通して重要度の方向を繰り返し更新できるようになり、これは適応型ラインサンプリングとして知られています。^{[ 2 ]}

このアルゴリズムは、限界状態関数が非線形であってもよく、必要なサンプル数がサブセットシミュレーションなどの他の信頼性解析手法よりも少ないため、計算コストの高い産業用ブラックボックスモデルの信頼性解析を実行するのに特に役立ちます。^{[ 3 ]}このアルゴリズムは、確率ボックスまたはランダムセットの形で認識的不確実性を効率的に伝播するためにも使用できます。^{[ 4 ] [ 5 ]}この方法の数値実装は、オープンソースソフトウェア OpenCOSSAN で利用可能です。^{[ 6 ]}

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