レイランド数

数論において、レイランド数とは次の形式の数である。

${\displaystyle x^{y}+y^{x}}$

ここでxとyは1より大きい整数である。 ^[1]これらは数学者ポール・レイランドにちなんで名付けられた。レイランド数の最初のいくつかは

8、17、32、54、57、100、145、177、320、368、512、593、945、1124（OEISの配列A076980）。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

xとy が両方とも 1 より大きいという要件は重要です。この要件がなければ、すべての正の整数はx ¹ + 1 ^xの形式のレイランド数になるからです。また、加法の交換法則により、レイランド数の集合が二重にカバーされるのを避けるために、通常は条件x ≥ yが追加されます (したがって、1 < y ≤ xとなります)。

レイランド素数とは、素数でもあるレイランド数のことです。そのような素数の最初のものは次のとおりです。

17、593、32993、2097593、8589935681、59604644783353249、523347633027360537213687137、43143988327398957279342419750374600193、... （OEISの配列A094133 ）

対応する

3 ² +2 ³、 9 ² +2 ⁹、 15 ² +2 ¹⁵、 21 ² +2 ²¹、 33 ² +2 ³³、 24 ⁵ +5 ²⁴、 56 ³ +3 ⁵⁶、 32 ¹⁵ +15 ³²。^[2]

また、 yの値を固定し、レイランド素数を与えるx値のシーケンスを考慮することもできます。たとえば、x ² + 2 ^{x は}、 x = 3、9、15、21、33、2007、2127、3759、...に対して素数です( OEIS : A064539 )。

2012年11月までに素数であることが証明された最大のレイランド数は5122 ⁶⁷⁵³ + 6753 ⁵¹²²で、25050桁。2011年1月から2011年4月まで、楕円曲線素数証明によって素数であることが証明された最大の素数であった。^[3] 2012年12月には、3110 ⁶³ + 63 ³¹¹⁰（5596桁）と8656 ²⁹²⁹ + 2929 ⁸⁶⁵⁶（30,008桁）で、後者は以前の記録を上回りました。^[4] 2023年2月には、104824 ⁵ + 5 ¹⁰⁴⁸²⁴（レイランド数の素数であることが判明した。^[5]これはECPPで証明された最大の素数でもあったが、3ヵ月後にはレイランド数以外のより大きな素数がECPPで証明された。^{[6] 314738 9} + 9 ³¹⁴⁷³⁸など、より大きな素数である可能性の高い数は数多く知られているが、^[7]大きなレイランド数の素数性を証明するのは困難である。ポール・レイランドは自身のウェブサイトで次のように書いている。「さらに最近では、この形式の数は、汎用素数証明プログラムの理想的なテストケースであることが認識されている。それらは単純な代数的記述を持ち、特殊目的のアルゴリズムが利用できる明らかな円分的特性を持たない。」

合成レイランド数を因数分解する XYYXFと呼ばれるプロジェクトがある。 ^[8]

第二種レイランド数とは、次の形式で表される数である。

${\displaystyle x^{y}-y^{x}}$

ここで、xとy は1 より大きい 整数です。最初のそのような数値は次のとおりです。

0、1、7、17、28、79、118、192、399、431、513、924、1844、1927、2800、3952、6049、7849、8023、13983、16188、18954、32543、58049、61318、61440、65280、130783、162287、175816、255583、261820 、... （OEISのシーケンスA045575 ）​​​​​​​​​​​​

第二種のレイランド素数とは、第二種のレイランド数でありながら素数でもある数です。そのような素数の最初のいくつかは次のとおりです。

7、17、79、431、58049、130783、162287、523927、2486784401、6102977801、8375575711、13055867207、83695120256591、375700268413577、2251799813682647、...（OEISのシーケンスA123206）。145を4の3乗と4の4乗の形で考えることもできます。

素数の可能性については、Henri LifchitzとRenaud LifchitzのPRP Top Records検索を参照してください。^[7]

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