レオンチェフユーティリティ

経済学、特に消費者理論において、レオンチェフ効用関数は次の形式の関数です。 ここで、 $${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{m})=\min \left\{{\frac {x_{1}}{w_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{m}}{w_{m}}}\right\}}.}$$

• ${\displaystyle m}$経済におけるさまざまな商品の数です。
• ${\displaystyle x_{i}}$( ) はバンドル内の商品の量です。${\displaystyle i\in 1,\dots ,m}$${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle w_{i}}$( ) は消費者にとっての商品の重さです。${\displaystyle i\in 1,\dots ,m}$${\displaystyle i}$

この形式の効用関数は、ワシリー・レオンチェフによって初めて概念化されました。

レオンチェフの効用関数は補完財を表します。例:

• 左の靴の数が で、右の靴の数が であるとします。消費者は靴を 1 足しか使うことができません。したがって、彼の効用は です。${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})}$
• クラウド コンピューティング環境には、さまざまなタスクを実行する大規模なサーバーがあります。特定の種類のタスクを完了するには、2 つのCPU、3 GBのメモリ、4 GB のディスク領域が必要であるとします。ユーザーの効用は、完了したタスクの数に等しくなります。したがって、次のように表すことができます。${\textstyle \min({x_{\mathrm {CPU} } \over 2},{x_{\mathrm {MEM} } \over 3},{x_{\mathrm {DISK} } \over 4})}$

レオンチェフ効用関数を持つ消費者には、次の特性があります。

• 選好は弱い単調性ですが、強い単調性ではありません。つまり、単一の財の量が多くても効用は増加しませんが、すべての財の量が多くなると効用は増加します。
• 選好は弱凸ですが、厳密には凸ではありません。つまり、2 つの同等のバンドルの混合は、元のバンドルと同等か、それよりも優れている可能性があります。
• 無差別曲線は L 字型で、その角は重みによって決まります。たとえば、関数 の場合、無差別曲線の角は にあります。${\displaystyle \min(x_{1}/2,x_{2}/3)}$${\displaystyle (2t,3t)}$${\displaystyle t\in [0,\infty )}$
• 消費者の需要は常に、重量によって決まる一定の比率で財を得ることです。つまり、消費者は所得によって決まるバンドルを要求します。[ 1 ^{]すべての財の}マーシャルの需要関数は所得とともに増加するため、すべての財は正常財です。^[2]${\displaystyle (w_{1}t,\ldots ,w_{m}t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t={\text{所得}}/(p_{1}w_{1}+\dots +p_{m}w_{m})}$

レオンチェフ効用は厳密には凸ではないため、競争均衡が存在するためのアロー・ドブリュー モデルの要件を満たしません。実際、レオンチェフ経済は競争均衡を持つことが保証されていません。競争均衡を持つレオンチェフ経済の限られたファミリーが存在します。

二重行列ゲームにおけるナッシュ均衡を見つける問題は、レオンチェフ経済における競争均衡を見つける問題に還元される。^[3]これにはいくつかの意味がある。

• 少なくとも 1 つの均衡点を持つことが保証されている特定のレオンチェフ交換経済族に、複数の均衡点があるかどうかを判断するのはNP 困難です。
• レオンチェフ経済が均衡状態にあるかどうかを判断するのはNP 困難です。

さらに、レオンチェフ市場交換問題は、PPAD⊆Pでない限り、完全な多項式時間近似スキームを持たない。 ^[4]

一方、いくつかの特殊なレオンチェフ経済に対して近似均衡を見つけるアルゴリズムが存在する。^{[3] [5]}

優勢なリソースの公平性は、クラウド コンピューティング システムにおけるリソース割り当ての一般的なルールであり、ユーザーがレオンチェフの好みを持っていることを前提としています。