リンドハルト理論

リンドハルトの公式の分母は、

${\displaystyle E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2 \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$、

そしてリンドハルトの公式の分子については、

${\displaystyle f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf { k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }}$。

これらをリンドハルトの公式に代入し、極限をとると、 ${\displaystyle \delta \to 0}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} =0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}.\end{alignedat}}}$、

ここではと を使用しました。 ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }}$${\displaystyle V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}}$

まず、長波長限界（）を考えます。 ${\displaystyle q\to 0}$

リンドハルトの式の分母については、

${\displaystyle E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$、

分子については、

${\displaystyle f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }}$。

これらをリンドハルトの公式に代入し、 の極限をとると、 ${\displaystyle \delta \to 0}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$

ここでは、、およびを使用しました。 ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }}$${\displaystyle V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$${\displaystyle \omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$

静的限界（）を考える。リンドハルトの公式は次のようになる。 ${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}}$。

上記の等式を分母と分子に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}$。

熱平衡フェルミ・ディラックキャリア分布を仮定すると、

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}}$。

したがって、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}$

${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$。

${\displaystyle V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}$。

2次元フェルミ気体の化学ポテンシャルは次のように与えられること が知られている。

${\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}}$、

そして。 ${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}$