ランダウ・ツェナーの公式

ランダウ・ツェナーの公式は、 2状態量子システムの遷移ダイナミクスを支配する運動方程式の解析解であり、時間依存ハミルトニアンは2つの状態のエネルギー分離が時間の線形関数となるように変化する。2つのエネルギー状態間の非断熱遷移の確率を与えるこの公式は、1932年にレフ・ランダウ[ ^1]、クラレンス・ツェナー^[2]、エルンスト・シュテッケルベルク[ ^3]、エットーレ・マヨラナ^[4]によって別々に発表された。

システムが無限の過去に低エネルギー固有状態で開始した場合、無限の未来にシステムが高エネルギー固有状態にある確率を計算します (いわゆるランダウ-ツェナー遷移)。エネルギー差の無限にゆっくりとした変化 (つまり、ランダウ-ツェナー速度がゼロ) の場合、断熱定理によれば、システムは常にその瞬間のハミルトニアンの瞬間固有状態にあるため、そのような遷移は発生しません。速度がゼロでない場合、ランダウ-ツェナーの式で説明される確率で遷移が発生します。

このような遷移はシステム全体の状態間で発生するため、システムの記述には衝突や外部電場、磁場など、すべての外部の影響を含める必要があります。システムの運動方程式を解析的に解くために、一連の簡略化が行われ、これらはまとめてランダウ・ツェナー近似として知られています。簡略化は次のとおりです。

1. ハミルトニアンの摂動パラメータは既知の時間線形関数である。
2. 非断熱状態のエネルギー分離は時間とともに直線的に変化する
3. 非断熱ハミルトニアン行列の結合は時間に依存しない

最初の単純化により、これは半古典的な処理になります。磁場内の原子の場合、磁場の強さは遷移中に正確に測定できる古典的な変数になります。この要件は非常に制限的であり、線形変化は一般に、望ましい遷移確率を達成するための最適なプロファイルではありません。

2番目の簡略化により、次の置換が可能になります。

${\displaystyle \Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,}$

ここで、およびは、ハミルトニアン行列の対角要素によって与えられる、時刻tにおける 2 つの状態のエネルギーであり、は定数です。磁場内の原子の場合、これは磁場の線形変化に対応します。線形ゼーマンシフトの場合、これはポイント 1 から直接導かれます。 ${\displaystyle E_{1}(t)}$${\displaystyle E_{2}(t)}$${\displaystyle \alpha}$

最終的な簡略化では、時間依存の摂動が非断熱状態を結合しないことが求められます。むしろ、結合は、一般的に量子欠陥によって記述されるクーロンポテンシャルからの静的偏差によるものでなければなりません。 ${\displaystyle 1/r}$

^{ツェナーの解の詳細はいくぶん不明瞭で、運動方程式をウェーバー方程式[5]}の形に置き換えるための一連の置換と既知の解を使用している。より透明な解は、輪郭積分を使用したCurt Wittig ^[6]によって提供されている。

このアプローチにおける重要な性能指標は、ランダウ・ツェナー速度です。

${\displaystyle v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},}$

ここで、q は摂動変数 (電場または磁場、分子結合長、またはシステムに対するその他の摂動) であり、およびは2 つの非断熱 (交差) 状態のエネルギーです。が大きいと、非断熱遷移確率も大きくなり、逆もまた同様です。 ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle v_{\rm {LZ}}}$

ランダウ・ツェナーの公式を用いると、非断熱遷移の確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle P_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\end{aligned}}}$

この量は、基底を結合する 2 レベル システムのハミルトニアンの非対角要素であり、回避された交差における 2 つの摂動されていない固有エネルギー間の距離の半分です ( の場合) 。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$

2状態ランダウ・ツェナーモデルの最も単純な一般化は、次のような形式のハミルトニアンを持つ多状態システムである。

${\displaystyle H(t)=A+Bt}$、

ここで、AとB は時間に依存しない要素を持つN x Nのエルミート行列です。多状態ランダウ・ツェナー理論の目的は、負の無限時間から正の無限時間までのハミルトニアンによる進化後の散乱行列の要素と、このモデルの状態間の遷移確率を決定することです。遷移確率は散乱行列の要素の絶対値の 2 乗です。

階層制約と呼ばれる厳密な公式があり、これは多状態ランダウ・ツェナー模型における散乱行列の特殊要素に対する解析的表現を与える。^[7]これらの関係の特殊なケースは、ブルンドブラー・エルザー（BE）公式、^{[8] [9] [10]}）、およびノー​​ゴー定理として知られている。^{[11] [12]}離散対称性は、散乱行列の独立した要素の数を減らす制約につながることが多い。^{[13] [14]}

また、積分可能条件も存在し、それが満たされると、多状態ランダウ・ツェナーモデルにおける散乱行列全体の正確な表現が得られる。このような完全に解けるモデルは数多く特定されており、その中には以下が含まれる。

• デムコフ・オシェロフモデル^[15]は、平行な準位のバンドを横切る単一の準位を記述する。このモデルの解に関する驚くべき事実は、正確に得られた遷移確率行列が、単純な半古典的な独立交差近似で得られたその形と一致することである。いくつかの一般化により、この特性は、相互作用する状態の数が有限であるほとんどすべての解けるランダウ・ツェナー系に現れる。
• 一般化されたボウタイモデル。^[16]このモデルは、2つのレベル（縮退したケースの極限では1つ）が、相互作用しない非透熱状態の集合に結合して、1点で交差することを記述する。
• 駆動型タヴィス・カミングスモデル^[17]はNスピンの相互作用を記述する- ⁠1/2⁠線形時間依存磁場中のボソンモードを持つ。これは最も豊富な既知の解決済みシステムである。これは組み合わせの複雑さを持ち、状態ベクトル空間の次元はスピン数Nとともに指数関数的に増加する。このモデルの遷移確率はq変形二項統計によって記述される。^[18]この解はボーズ・アインシュタイン凝縮体の物理学において実用的な応用が見出されている。^[19]
• 時間依存磁場と相互作用するスピンクラスター。^[20]このクラスのモデルは、半古典的独立交差近似における経路干渉効果により、遷移確率の比較的複雑な挙動を示します。
• 還元可能（または複合）多状態ランダウ・ツェナーモデル。^{[21] [22]}このクラスは、対称変換によって他の可解でより単純なモデルのサブセットに分離できるシステムで構成されています。注目すべき例は、任意のスピンハミルトニアンです。ここで、S _zとS _xはスピン演算子、S >1/2、bとg は定数パラメータです。これは、1932 年にマヨラナによって議論された、最も古い既知の可解システムです。他の例としては、一対の縮退レベル交差のモデル、^[23]や、線形に変化する磁場内の 1D 量子イジング鎖などがあります。^{[24] [25]}${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}}$
• 無限線形連鎖におけるランダウ・ツェナー遷移。^[26]このクラスには、相互作用する状態の数が形式的に無限であるシステムが含まれます。そのほとんどの既知の例は有限サイズモデル（タヴィス・カミングスモデルなど）の限界として得られますが、この分類に属さないケースもあります。たとえば、非近接状態間の結合がゼロでない解ける無限連鎖があります。^[27]

離散自由度を持つ量子状態の準備と操作の問題へのランダウ・ツェナー解の応用は、駆動された2状態システムにおける遷移確率に対するノイズとデコヒーレンス効果の研究を刺激した。これらの効果を記述するために、強い対角ノイズに対する茅沼公式 ^[28] や、非対角成分を持つ高速カラーノイズとの結合に対するポクロフスキー・シニツィン公式 ^[29]など、いくつかの簡潔な解析結果が導出され ている。

シュウィンガー・ケルディッシュ・グリーン関数を用いて、1980年代後半にアオとラマーは、弱い結合から強い結合、低温から高温、遅い通過から速い通過など、すべてのパラメータ領域における量子ノイズの影響に関するかなり完全で包括的な研究を行った。様々な極限において簡潔な解析表現が得られ、そのような問題の豊富な挙動を示した。 ^{[30]核スピン浴と熱浴結合がランダウ・ツェナー過程に及ぼす影響は、それぞれシニツィンとプロコフエフ[31]}とポクロフスキーとサン^{[32] [33] [34]} によって研究された。

多状態ランダウ・ツェナー理論の厳密な結果（ノーゴー定理とBE式）は、無限個の振動子および/またはスピン浴（散逸ランダウ・ツェナー遷移）からなる浴に結合されたランダウ・ツェナー系に適用できる。それらは、温度ゼロの基底状態から進化が始まった場合の最終的な浴状態にわたって平均された遷移確率の厳密な表現を提供する。振動子浴については文献^{[35]を参照し、スピン浴を含む普遍的な結果については文献[36]}を参照。

• 非断熱遷移状態理論
• 断熱定理
• 結合軟化
• 結合強化
• フロワサール・ストーラ方程式