コルモゴロフの不等式

確率論において、コルモゴロフの不等式は、有限個の独立な確率変数の部分和が特定の上限を超える確率の上限を与える、いわゆる「最大不等式」である。

X ₁ , ..., X _n  :  Ω  → R を共通の確率空間(Ω, F , Pr)上で定義された独立な確率変数とし、期待値はE[ X _k ] = 0、分散はk = 1, ..., nに対してVar[ X _k ] < +∞ とする。このとき、各 λ > 0に対して、           

${\displaystyle \Pr \left(\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{k}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\text{E}}[X_{k}^{2}],}$

ここでS _k  = X ₁ + ... + X _k。     

この結果の利点は、任意の時点におけるランダムウォークの最悪ケース偏差を、時間間隔の終了時の値を用いて制限できる点にある。

以下の議論では離散マルチンゲールを用いる。ドゥーブのマルチンゲール不等式の議論で述べたように、数列${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}}$はマルチンゲールです。定義${\displaystyle (Z_{i})_{i=0}^{n}}$以下のように。${\displaystyle Z_{0}=0}$、 そして

${\displaystyle Z_{i+1}=\left\{{\begin{array}{ll}S_{i+1}&{\text{ if }}\displaystyle \max _{1\leq j\leq i}|S_{j}|<\lambda \\Z_{i}&{\text{ otherwise}}\end{array}}\right.}$

すべての人々のために${\displaystyle i}$。 それから${\displaystyle (Z_{i})_{i=0}^{n}}$これもマルチンゲールです。

マルチンゲールの場合${\displaystyle M_{i}}$と${\displaystyle M_{0}=0}$我々はそれを持っている

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(M_{i}-M_{i-1})^{2}]&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[M_{i}^{2}-2M_{i}M_{i-1}+M_{i-1}^{2}]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-2(M_{i-1}+M_{i}-M_{i-1})M_{i-1}+M_{i-1}^{2}\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-M_{i-1}^{2}\right]-2{\text{E}}\left[M_{i-1}(M_{i}-M_{i-1})\right]\\&={\text{E}}[M_{n}^{2}]-{\text{E}}[M_{0}^{2}]={\text{E}}[M_{n}^{2}].\end{aligned}}}$

この結果をマルチンゲールに適用すると${\displaystyle (S_{i})_{i=0}^{n}}$、 我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pr}}\left(\max _{1\leq i\leq n}|S_{i}|\geq \lambda \right)&={\text{Pr}}[|Z_{n}|\geq \lambda ]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[Z_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(Z_{i}-Z_{i-1})^{2}]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(S_{i}-S_{i-1})^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[S_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{Var}}[S_{n}]\end{aligned}}}$

ここで、最初の不等式はチェビシェフの不等式から導かれる。

この不等式は、1955年にハジェクとレーニによって一般化された。

• チェビシェフの不等式
• エテマディの不平等
• ランダウ・コルモゴロフの不等式
• マルコフの不等式
• ベルンシュタインの不等式（確率論）

• ビリングスリー、パトリック（1995）。確率と測定。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-00710-2。（定理22.4）
• フェラー、ウィリアム（ 1968）[1950]。確率論とその応用入門、第1巻（第3 版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。xviii+509。ISBN 0-471-25708-7。
• カハネ、ジャン＝ピエール（1985）[1968]。いくつかのランダム関数系列（第2 版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。p.  29-30。

この記事は、 PlanetMathの Kolmogorov's inequality から引用した資料を使用しており、PlanetMath はCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。