クライスリカテゴリー

圏論において、クライスリ圏は任意のモナドTに自然に関連付けられた圏である。これは自由T代数の圏と同等である。クライスリ圏は、「すべてのモナドは付加物から生じるか? 」という質問に対する 2 つの極端解のうちの 1 つである。もう 1 つの極端解は、アイレンバーグ - ムーア圏である。クライスリ圏は数学者ハインリヒ クライスリにちなんで名付けられている。

⟨ T , η , μ ⟩ をカテゴリC上のモナドとする。Cのクライスリカテゴリは、そのオブジェクトと射が次のように与えられる カテゴリC _{Tである。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{整列}}}$

つまり、C内のあらゆる射f: X → TY （共役領域TY ）は、 C _T内の射（共役領域Y ）とみなすこともできる。C _T内の射の合成は次のように与えられる 。

${\displaystyle g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ}$

ここでf: X → TY、g: Y → TZ。恒等射はモナド単位ηによって与えられる。

${\displaystyle \mathrm {id} _{X}=\eta _{X}}$。

これを別の方法で記述すると、各オブジェクトが属するカテゴリが明確になります。これは、Mac Lane によって使用されています。^[1] この説明では、少しだけ異なる表記法を使用します。上記と同じモナドとカテゴリが与えられ、各オブジェクトを新しいオブジェクトに 関連付け、各射を射に 関連付けます。これらのオブジェクトと射が一緒になってカテゴリを形成し、ここで定義します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X_{T}}$${\displaystyle f\colon X\to TY}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}}$${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.}$

すると、恒等写像は ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle \mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.}$

クライスリ射の合成は、拡張演算子(–) ^#  : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY )によって簡潔に表現できます。カテゴリC上のモナド ⟨ T , η , μ ⟩ と射f  : X → TYが与えられ たとき、

${\displaystyle f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.}$

クライスリ圏C _Tの合成は次のように書ける。

${\displaystyle g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.}$

拡張演算子は次の恒等式を満たします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}}$

ここで、f  : X → TYおよびg  : Y → TZです。これらの特性から、Kleisli 合成は結合的であり、η _{X は}恒等式であることが自明です。

実際、モナドを与えることはクライスリの三つ組⟨ T , η , (–) ^# ⟩ を与えることであり、つまり

• 関数;${\displaystyle T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)}$
• 内の各オブジェクトに対して、射;${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{A}\colon A\to T(A)}$
• の各射に対して、射${\displaystyle f\colon A\to T(B)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)}$

拡張演算子に関する上記の 3 つの式が満たされるようになります。

Kleisli カテゴリは、もともとすべてのモナドが付加から生じることを示すために定義されました。その構成は次のとおりです。

⟨ T , η , μ ⟩ をカテゴリC上のモナドとし、C _{T を}関連するクライスリカテゴリとします。上記の「形式的定義」のセクションで述べた Mac Lane の記法を使用して、関数F :  C  →  C _{T を}次のように 定義します。

${\displaystyle FX=X_{T}\;}$

${\displaystyle F(f\colon X\to Y)=(\eta _{Y}\circ f)^{*}}$

そして関手G  : C _T → Cは

${\displaystyle GY_{T}=TY\;}$

${\displaystyle G(f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T})=\mu _{Y}\circ Tf\;}$

FとGは確かに関手であり、FはGの左随伴関数であることを示すことができる。随伴関数の余単位は次のように与えられる。

${\displaystyle \varepsilon _{Y_{T}}=(\mathrm {id} _{TY})^{*}:(TY)_{T}\to Y_{T}.}$

最後に、 T = GFかつμ = GεFであることが示され、⟨ T , η , μ⟩は、附随伴⟨ F , G , η , ε⟩に関連付けられたモナドとなります。

カテゴリCの任意のオブジェクトXについて:

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(X)&=G(F(X))\\&=G(X_{T})\\&=TX.\end{aligned}}}$

カテゴリーCの場合: ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(f)&=G(F(f))\\&=G((\eta _{Y}\circ f)^{*})\\&=\mu _{Y}\circ T(\eta _{Y}\circ f)\\&=\mu _{Y}\circ T\eta _{Y}\circ Tf\\&={\text{id}}_{TY}\circ Tf\\&=Tf.\end{aligned}}}$

はC内の任意のオブジェクトXに対して真であり、はC内の任意の射fに対して真であるため、 となります。QED${\displaystyle (G\circ F)(X)=TX}$${\displaystyle (G\circ F)(f)=Tf}$${\displaystyle G\circ F=T}$

• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。カテゴリカル基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​
• リール、エミリー(2016)。文脈におけるカテゴリー理論(PDF)。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-80903-8. OCLC  1006743127.
• Riguet, ジャック;ルネ・ギタルト（1992年）。 「カルビエンヌとクライスリの封筒」。カイエ・ド・トポロジーとジオメトリー・ディフェレンティエル・カテゴリケ。33 (3): 261-6。MR  1186950。Zbl 0767.18008  。

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