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キルヒベルガーの定理は、離散幾何学における線形分離性に関する定理です。この定理の 2 次元バージョンは、ユークリッド平面上の赤と青の点の有限集合に、4 つの点ごとに、その 4 つの点内で赤と青の点を分ける線が存在するという特性がある場合、すべての赤の点とすべての青の点を分ける線が 1 本存在するという性質があると述べています。ドナルド ワトソンは、この結果を農場の比喩でより色鮮やかに表現しています。
羊と山羊が野原で草を食んでいて、4頭の動物ごとに羊と山羊を分ける線が存在する場合、すべての動物にそのような線が存在します。[1]
より一般的には、次元ユークリッド空間における有限個の赤と青の点について、点のすべての部分集合における赤と青の点が線形分離可能である場合、すべての赤の点とすべての青の点は線形分離可能である。この結果を別の方法で表現すると、有限個の赤と青の点の凸包が空でない交差を持つ場合、部分集合内の赤と青の点の凸包も交差する点の部分集合が存在する、ということである。[2] [3]
歴史と証拠
この定理は、ゲッティンゲン大学のダヴィト・ヒルベルトの弟子であったドイツの数学者パウル・キルヒベルガーにちなんで名付けられた。キルヒベルガーは1902年の博士論文[4]でこの定理を証明し、1903年にMathematische Annalen [5]でチェビシェフ近似の解析に使用した補助定理として発表した。ヒルベルトの博士論文報告書には、博士論文のこの部分にあるキルヒベルガーの補助定理のいくつかはヘルマン・ミンコフスキーも知っていたものの未発表であったと記されている。この記述が現在キルヒベルガーの定理として知られている結果に当てはまるかどうかは明らかではない。[6]
キルヒベルガーの研究以来、凸集合の交差に関するヘリーの定理に基づく簡単な証明[7]、凸包への帰属に関するカラテオドリの定理に基づく証明[2]、あるいは凸包の交差に関するラドンの定理に関連する原理に基づく証明[3]など、キルヒベルガーの定理の他の証明も発表されている。しかし、ヘリーの定理、カラテオドリの定理、ラドンの定理はいずれもキルヒベルガーの定理よりも後に生まれたものである。
一般化と関連する結果
キルヒベルガーの定理の強化版では、与えられた点の 1 つを固定し、固定された点を含む点の部分集合のみを考慮します。これらの部分集合のそれぞれで赤い点と青い点が線形分離可能である場合、すべての赤い点とすべての青い点は線形分離可能です。[1]この定理は、赤い点と青い点が必ずしも有限ではないコンパクトな集合を形成する場合にも成立します。 [3]
立体投影を使用することで、キルヒベルガーの定理を使用して、円または球面の分離可能性について同様の結果を証明することができます。平面上の有限個の赤と青の点の5点ごとに、赤と青の点を円で分離できる場合、または高次元のすべての点の赤と青の点を超球で分離できる場合、すべての赤と青の点を同じように分離できます。[8]
参照
- 超平面分離定理、互いに素なコンパクト凸集合は線形分離可能であるという定理
参考文献
- ^ ab ワトソン、ドナルド (1973)、「キルヒベルガーとカラテオドリーの定理の改良」、オーストラリア数学会、15 (2): 190–192、doi : 10.1017/S1446788700012957、MR 0333980
- ^ ab Shimrat, Moshe (1955)、「P. Kirchberger の定理の簡単な証明」、Pacific Journal of Mathematics、5 (3): 361–362、doi : 10.2140/pjm.1955.5.361、MR 0071796
- ^ abc Webster, RJ (1983)、「キルヒベルガーの定理のもう一つの簡単な証明」、Journal of Mathematical Analysis and Applications、92 (1): 299–300、doi : 10.1016/0022-247X(83)90286-X、MR 0694178
- ^ 数学系譜プロジェクトのポール・キルヒバーガー
- ^ Kirchberger、Paul (1903)、「Über Tchebychefsche Annäherungsmethoden」、Mathematische Annalen、57 (4): 509–540、doi :10.1007/BF01445182、MR 1511222、S2CID 120774553
- ^ ステフェンス、カール・ゲオルク、「4.3 キルヒベルガーのテーゼ」、近似理論の歴史：オイラーからベルンシュタインまで、ボストン：ビルクハウザー、pp. 135–137、doi：10.1007/0-8176-4475-x_4、MR 2190312
- ^ Rademacher, Hans ; Schoenberg, IJ (1950)、「凸領域に関するヘリーの定理とチェビシェフの近似問題」、Canadian Journal of Mathematics、2 : 245–256、doi : 10.4153/cjm-1950-022-8、MR 0035044
- ^ Lay, SR (1971)、「球面による分離について」、American Mathematical Monthly、78 (10): 1112–1113、doi :10.2307/2316320、JSTOR 2316320、MR 0300201
さらに読む
- Bergold, Helena; Felsner, Stefan; Scheucher, Manfred; Schröder, Felix; Steiner, Raphael (2020)、「位相的描画は凸幾何学の古典的定理と一致する」、第 28 回グラフ描画およびネットワーク可視化国際シンポジウムの議事録、arXiv : 2005.12568
- Cordovil、Raul (1982)、「Sur un theoreme de Separation des matroïdes orientes de rang trois」、離散数学、40 (2–3): 163–169、doi : 10.1016/0012-365X(82)90117-0、MR 0676722
- Houle, Michael E. (1991)、「分離面の存在に関する定理」、離散および計算幾何学、6 (1): 49–56、doi : 10.1007/BF02574673、MR 1073072、S2CID 1992810
- ランギ、ゾルト。 Naszódi、Márton (2008)、「凸領域による分離のための Kirchberger 型定理」、Periodica Mathematica Hungarica、57 (2): 185–196、doi :10.1007/s10998-008-8185-6、MR 2469604、S2CID 15506550
- Netrebin, AG; Shashkin, Yu. A. (1985)、「一般化凸空間におけるキルヒベルガー型とカラテオドリ型の定理」、Doklady Akademii Nauk SSSR、283 (5): 1085–1088、MR 0802134
- レニー、BC (1970)、「キルヒベルガーのような定理」、ロンドン数学会誌、第 2 シリーズ、2 : 40–44、doi :10.1112/jlms/s2-2.1.40、MR 0250192