キングマンの劣加法性エルゴード定理

実数確率変数の族が与えられた場合${\textstyle X(m,n)}$、 と${\textstyle 0\leq m<n\in \mathbb {N} }$、つまり、それらは劣加法性を持つ。$${\displaystyle {\begin{aligned}&X(m+1,n+1)=X(m,n)\circ T\\&X(0,n)\leq X(0,m)+X(m,n)\end{aligned}}}$$すると、確率変数が存在する${\textstyle Y}$そのため${\textstyle Y\in [-\infty ,+\infty )}$、${\textstyle Y}$に関して不変である${\textstyle T}$、 そして${\textstyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}X(0,n)=Y}$として。

これらは、設定により同等である。

• ${\textstyle g_{n}=X(0,n)}$と${\textstyle n\geq 1}$;
• ${\textstyle X(m,m+n)=g_{n}\circ T^{m}}$と${\textstyle m\geq 0}$。

いくつか修正する${\textstyle n\geq 1}$劣加法性により、任意の${\textstyle l\in 1:n-1}$$${\displaystyle g_{n}\leq g_{nl}+g_{l}\circ T^{nl}}$$

これは、集合から始まると想像できます。${\textstyle 0:n-1}$そしてその長さを取り除く${\textstyle l}$しっぽ。

セットが${\textstyle 0:n-1}$全てが消え去ったので、上限と 1 対 1 の対応関係があります${\textstyle g_{n}}$および分割${\textstyle 1:n-1}$。

具体的には、${\textstyle \{k_{i}:(k_{i}+l_{i}-1)\}_{i}}$分割する${\textstyle 0:n-1}$すると、$$\displaystyle g_{n}\leq \sum _{i}g_{l_{i}}\circ T^{k_{i}}}$$

させて${\textstyle g:=\liminf g_{n}/n}$ならばそれは${\textstyle T}$不変。

劣加法性により、$$\displaystyle {\frac {g_{n+1}}{n+1}}\leq {\frac {g_{1}+g_{n}\circ T}{n+1}}}$$

取っていく${\textstyle n\to \infty }$制限があります、$${\displaystyle g\leq g\circ T}$$視覚化できる${\textstyle T}$グラフ上の丘登りとして${\textstyle g}$。 もし${\textstyle T}$実際にはかなりの量の山登りを引き起こし、空間的な収縮が生じるので、${\textstyle T}$尺度を保持しない。したがって${\textstyle g=g\circ T}$ae

させて${\textstyle c\in \mathbb {R} }$、 それから$${\displaystyle \{g\geq c\}\subset \{g\circ T\geq c\}=T^{-1}(\{g\geq c\})}$$そして、両側は同じ大きさなので、圧縮することで等しくなります。

つまり、${\textstyle g(x)\geq c\iff g(Tx)\geq c}$、ae。

これをすべての有理数に適用します${\textstyle c}$。

劣加法性により、分割を用いて${\textstyle 0:n-1}$シングルトンに変換します。$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&\leq g_{1}\\g_{2}&\leq g_{1}+g_{1}\circ T\\g_{3}&\leq g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$$次に、数列を構築します。$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=g_{1}-g_{1}\\f_{2}&=g_{2}-(g_{1}+g_{1}\circ T)\\f_{3}&=g_{3}-(g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2})\\&\cdots \end{aligned}}}$$これは以下を満たす${\textstyle f_{n}\leq 0}$すべての人々のために${\textstyle n}$。

特別な場合、${\textstyle f_{n}/n}$ae に収束する${\textstyle T}$不変関数。

バーコフの点ごとのエルゴード定理によれば、移動平均$${\displaystyle {\frac {1}{n}}(g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2}+\cdots )}$$ae に収束する${\textstyle T}$不変関数である。したがって、それらの和も同様に不変関数である。

恣意的な修正${\textstyle \epsilon ,M>0}$、そして切り捨てられた関数を構築するが、${\textstyle T}$-不変:$${\displaystyle g':=\max(g,-M)}$$これらがあれば、ae の上限を証明すれば十分である。$${\displaystyle \limsup g_{n}/n\leq g'+\epsilon }$$制限を取ることができるので${\textstyle \epsilon =1/1,1/2,1/3,\dots }$すると限界${\textstyle M=1,2,3,\dots }$私たちにaeを与えてくれる

$${\displaystyle \limsup g_{n}/n\leq \liminf g_{n}/n=:g}$$そして、絞ることで、${\textstyle g_{n}/n}$収束ae${\textstyle g}$.空集合に縮小する集合と、完全集合に拡大する集合の 2 つの族を定義します。各「長さ」について${\displaystyle L=1,2,3,\dots }$、 定義する$${\displaystyle B_{L}:=\{x:g_{l}/l>g'+\epsilon ,\forall l\in 1,2,\dots ,L\}}$$$${\displaystyle A_{L}:=B_{L}^{c}=\{x:g_{l}/l\leq g'+\epsilon ,\exists l\in 1,2,\dots ,L\}}$$以来${\textstyle g'\geq \liminf g_{n}/n}$、${\textstyle B}$家族は空集合に縮小する。

修理${\textstyle x\in X}$。 修理${\textstyle L\in \mathbb {N} }$。 修理${\textstyle n>L}$これらの修飾子の順序は非常に重要です。なぜなら、修飾子を逆の順序で一つずつ削除していくからです。

ae の上限を証明するには、劣加法性を使用する必要があり、つまり、集合の分割を構築する必要があります。${\textstyle 0:n-1}$私たちはこれを帰納的に行います。

最小のものを取って${\textstyle k}$既にパーティション内に存在しない。

もし${\textstyle T^{k}x\in A_{N}}$、 それから${\textstyle g_{l}(T^{k}x)/l\leq g'(x)+\epsilon }$一部の人にとって${\textstyle l\in 1,2,\dots L}$そのうちの1つを例に挙げてみましょう。${\textstyle l}$―選択は重要ではない。

もし${\textstyle k+l-1\leq n-1}$そして、${\textstyle \{k,\dots ,k+l-1\}}$これらのパーティションを「タイプ 1」と呼びます。そうでない場合は、切り取ります。${\textstyle \{k\}}$これらのパーティションを「タイプ2」と呼ぶ。

そうでなければ、${\textstyle \{k\}}$これらのパーティションを「タイプ3」と呼びます。

次に、この分割を不等式に変換します。$${\displaystyle g_{n}(x)\leq \sum _{i}g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)}$$どこ${\textstyle k_{i}}$パーティションの先頭であり、${\textstyle l_{i}}$これらは長さです。

すべて${\textstyle g_{n}\leq 0}$そうすれば、他の種類のパーティションを削除できます。$${\displaystyle g_{n}(x)\leq \sum _{i:{\text{type 1}}}g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)}$$構造上、各${\textstyle g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)\leq l_{i}(g'(x)+\epsilon )}$、 したがって$${\displaystyle {\frac {1}{n}}g_{n}(x)\leq g'(x){\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}+\epsilon }$$今度は、${\textstyle g'(x){\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}\leq g'(x)}$しかし残念ながら${\textstyle g'\leq 0}$なので、方向は正反対です。合計の下限を設定する必要があります。${\textstyle \sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}}$。

タイプ3の要素の数は$${\displaystyle \sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)}$$数字${\textstyle k}$タイプ2の場合、最後の${\textstyle L-1}$要素${\textstyle 0:n-1}$したがって、タイプ2の要素の数は最大で${\textstyle L-1}$それらを合わせると、下限値が得られます。$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}\geq 1-{\frac {L-1}{n}}-{\frac {1}{n}}\sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)}$$

削除する${\textstyle n>L}$予選通過者は${\textstyle n\to \infty }$制限。

ビルコフの点ごとのエルゴード定理により、点ごとの極限 ae が存在する。$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)\to {\bar {1}}_{B_{L}}(x)}$$ 満足 $${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}=\mu (B_{L});\quad {\bar {1}}_{B_{L}}(x)\in [0,1]}$$極限では、ae に対して次のことがわかっています。${\textstyle x\in X,L\in \mathbb {N} }$、$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)(1-{\bar {1}}_{B_{L}}(x))+\epsilon }$$

削除する${\textstyle L\in \mathbb {N} }$予選通過者は${\textstyle L\to \infty }$制限。

なぜなら私たちは$${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}=\mu (B_{L})\to 0}$$そして${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}\geq {\bar {1}}_{B_{L+1}}\geq \cdots }$として${\displaystyle 1_{B_{L}}\geq 1_{B_{L+1}}\geq \cdots }$マルコフの不等式を証明する際に用いたのと同じ議論を適用して、$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)+\epsilon }$$ ae の場合${\textstyle x\in X}$。

詳細には、議論は次のとおりである。${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}\geq {\bar {1}}_{B_{L+1}}\geq \cdots \geq 0}$、 そして${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}\to 0}$小さなものについては、${\displaystyle \delta ,\delta '>0}$すべて十分な大きさ${\displaystyle L}$満たす${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}(x)<\delta }$サイズセット以外ではどこでも${\displaystyle \geq \delta '}$。 したがって、$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)(1-\delta )+\epsilon }$$確率で${\displaystyle \geq 1-\delta '}$さあ、両方取ってみよう${\displaystyle \delta ,\delta '\to 0}$。

ランダム順列の最長増加部分列を研究する${\displaystyle \pi }$、我々はそれを同等の方法で生成します。${\displaystyle 1:n}$は、均一サンプリングによって等価に生成される。${\displaystyle n}$正方形内の点を、その正方形内の最長増加部分列として見つけます。

次に、密度が 1 のポアソン点過程を定義します。${\displaystyle [0,\infty )^{2}}$、そして確率変数を定義する${\displaystyle M_{k}^{*}}$正方形内の最長増加部分列の長さである${\displaystyle [0,k)^{2}}$・測度保存変換を定義する${\displaystyle T}$平面をずらすことによって${\displaystyle (-1,-1)}$そして、落ちた部分を切り落とします${\displaystyle [0,\infty )^{2}}$。

このプロセスは劣加法性である、つまり、${\displaystyle M_{k+m}^{*}\geq M_{k}^{*}+M_{m}^{*}\circ T^{k}}$これを確認するには、まず右側が正方形内で増加部分列を構築していることに注目してください。${\displaystyle [0,k)^{2}}$広場で${\displaystyle [k,k+m)^{2}}$そして最後にそれらを連結します。これにより、増加部分列が生成されます。${\displaystyle [0,k+m)^{2}}$ただし、必ずしも最長のものではない。

また、${\displaystyle T}$はエルゴード的であるため、キングマンの定理により、${\displaystyle M_{k}^{*}/k}$ほぼ確実に定数に収束する。極限では、${\displaystyle n=k^{2}}$正方形内の点、${\displaystyle L_{n}^{*}/{\sqrt {n}}}$ほぼ確実に定数に収束する。