KPZ固定小数点

確率論において、KPZ不動点はマルコフ場であり、 KPZ方程式と呼ばれる非線形確率偏微分方程式の普遍性クラスを形成する広範囲の確率モデルの普遍極限であると推測されている。普遍性クラスは1986年にKPZ方程式自体とともにすでに導入されていたが、KPZ不動点は2021年に数学者コンスタンチン・マテツキ、ジェレミー・クアステル、ダニエル・レメニックがフレドホルム行列式の観点から遷移確率を明示的に記述するまで具体的に指定されなかった。^[1]

KPZ クラスのすべてのモデルに共通するのは、変動する高さ関数または何らかの類似関数（関数として考えることができる）があり、時間によるモデルの成長をモデル化します。KPZ 方程式自体もこのクラスのメンバーであり、ランダムなインターフェースの成長をモデル化する標準モデルです。強力な KPZ 普遍性予想は、KPZ 普遍性クラスのすべてのモデルが高さ関数の特定のスケーリングの下で​​ KPZ 固定点に収束し、初期条件のみに依存すると予想します。

マテツキ＝クアステル＝レメニックは、局所UC収束の位相を持つ上半連続関数（UC）のポーランド空間上の次元KPZ普遍性クラス（つまり、1つの空間次元と1つの時間次元）のKPZ固定点を構築した。彼らは、一般的な初期条件とその関連する高さ関数のランダムウォークを持つKPZ普遍性クラスの特定のモデルであるTASEP （「完全に非対称な単純排除プロセス」）を研究することでこれを実現した。彼らは、ワイルチェンバー内の粒子の多点分布に対するフレドホルム行列式に現れる相関カーネルの双直交関数を書き直すことでこれを達成した。そして、彼らは固定点への収束を示した。^[1]${\displaystyle (1+1)}$

は、時空を表す を持つ、ある確率モデルの高さ関数を表します。これまでは、 （ とも表記）の場合についてのみ詳しく研究されてきたため、この記事の残りの部分ではこの次元を固定します。KPZ 普遍性クラスには、自明なEdwards-Wilkinson (EW) 固定点と非自明なKPZ 固定点という 2 つの平衡点または固定点が存在します。KPZ 方程式は、これらを結び付けます。 ${\displaystyle h(t,{\vec {x}})}$${\displaystyle (t,{\vec {x}})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle (1+1)}$

KPZ 固定点は、高さ関数を持つ特定のモデルとしてではなく、高さ関数として定義されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(t,{\vec {x}})}$

KPZ固定点はマルコフ過程であり、およびのn点分布は次のように表される。 ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }}$${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{n}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{{\mathfrak {h}}(0,\cdot )}({\mathfrak {h}}(t,x_{1})\leq a_{1},{\mathfrak {h}}(t,x_{2})\leq a_{2},\dots ,{\mathfrak {h}}(t,x_{n})\leq a_{n})=\det(IK)_{L^{2}(\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

ここで、およびは拡張ブラウン散乱演算子と呼ばれるトレースクラス演算子であり、下付き文字はプロセスがで始まることを意味します。^[1]${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,\cdot )}$

KPZ 予想は、時刻における KPZ 普遍性のすべてのモデルの高さ関数が平均の周りで のオーダーで変動し、変動の空間相関が のオーダーであると予想します。これにより、KPZ 固定点の特性スケーリングである、いわゆる1:2:3 スケーリングが実現されます。EW 固定点には、 1:2:4 スケーリングもあります。固定点は、関連するスケーリングに対して不変です。 ${\displaystyle h(t,{\vec {x}})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{1/3}}$${\displaystyle t^{2/3}}$

高さ関数の1:2:3スケーリングは、${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \varepsilon^{1/2}h(\varepsilon^{-3/2}t,\varepsilon^{-1}x)-C_{\varepsilon}t,}$

ここで1:3と2:3は指数の比率を表し、単なる定数です。^[2]${\displaystyle C_{\varepsilon }}$

強い予想によれば、KPZ普遍性クラスのすべてのモデルは、初期条件が収束する場合、高さ関数の 1:2:3のスケーリングの下で​​収束する。つまり、

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

初期条件付き

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x),}$

ここで、はモデルによって異なる定数である。^[3]${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$

KPZ方程式の成長項を取り除くと、

${\displaystyle \partial _{t}h(t,x)=\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi ,}$

1:2:4のスケーリングで収束する

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

EW 固定点へ。弱い予想によれば、KPZ 方程式はKPZ と EW 固定点の間の 唯一のヘテロクリニック軌道です。

時間の次元を固定し、限界を見てみると

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-1/3}(h(c_{1}t,c_{2}t^{2/3}x)-c_{3}t){\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathcal {A}}(x),}$

するとランダム行列の理論でも起こるエアリー過程 が得られる。^[4]${\displaystyle ({\mathcal {A}}(x))_{x\in \mathbb {R} }}$