K分布

K分布
パラメータ	${\displaystyle \mu \in (0,+\infty )}$、${\displaystyle \alpha \in [0,+\infty )}$、${\displaystyle \beta \in [0,+\infty )}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$
平均	${\displaystyle \mu }$
分散	${\displaystyle \mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}$
MGF	${\displaystyle \left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right)}$

確率論および統計学において、一般化K分布は3つのパラメータを持つ連続確率分布の族である。この分布は2つのガンマ分布を合成することによって得られる。いずれの場合も、ガンマ分布族の通常の形式を再パラメータ化して、以下のパラメータを用いる。

• 分布の平均、
• 通常の形状パラメータ。

K分布は分散ガンマ分布の特殊な場合であり、分散ガンマ分布は一般化双曲線分布の特殊な場合である。一般化K分布のより単純な特殊な場合が、しばしばK分布と呼ばれる。

確率変数${\displaystyle X}$平均値がガンマ分布に従う${\displaystyle \sigma }$形状パラメータ${\displaystyle \alpha }$、 と${\displaystyle \sigma }$今回は平均値が別のガンマ分布に従う確率変数として扱われる。${\displaystyle \mu }$形状パラメータ${\displaystyle \beta }$その結果、${\displaystyle X}$の確率密度関数（pdf）は次のようになります。${\displaystyle x>0}$: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$

どこ${\displaystyle K}$これは第2種変形ベッセル関数です。第2種変形ベッセル関数については、次の式が成り立つことに注意してください。${\displaystyle K_{\nu }=K_{-\nu }}$この導出において、K分布は複合確率分布である。また、積分布でもある。^{[ 1 ]}これは、平均1、形状パラメータを持つガンマ分布に従う2つの独立な確率変数の積の分布である。${\displaystyle \alpha }$2番目は平均がガンマ分布に従う${\displaystyle \mu }$形状パラメータ${\displaystyle \beta }$。

K分布のより単純な2パラメータ形式化は、次のように設定することで得られる。${\displaystyle \beta =1}$^{[ 2 ] [ 3 ]}として

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),}$

どこ${\displaystyle v=\alpha }$は形状係数です。${\displaystyle b=\alpha /\mu }$はスケールファクターであり、${\displaystyle K}$は第2種変形ベッセル関数である。上記の2つのパラメータによる定式化は、 を設定することによっても得られる。${\displaystyle \alpha =1}$、${\displaystyle v=\beta }$、 そして${\displaystyle b=\beta /\mu }$ただし、物理的解釈は異なる${\displaystyle b}$そして${\displaystyle v}$パラメータ。この2つのパラメータによる定式化はK分布と呼ばれることが多く、3つのパラメータによる定式化は一般化K分布と呼ばれます。

この分布は、マイクロ波海面エコーのモデル化に使用したEric JakemanとPeter Pusey (1978)の論文に由来する。 ^{[ 4 ]} JakemanとTough (1987)は、バイアスのかかったランダムウォークモデルからこの分布を導出した。^{[ 5 ]} Keith D. Ward (1981)は、2つの確率変数z = a yの積からこの分布を導出した。ここで、a はカイ分布、yは複素ガウス分布である。zの絶対値| z |はK分布に従う。^{[ 6 ]}

モーメント生成関数は^{[ 7 ]で与えられる。}

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

どこ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$そして${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$はウィテカー関数です。

K分布のn次モーメントは^{[ 1 ]で与えられる。}

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$

したがって、平均と分散は^{[ 1 ]で与えられます。}

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.}$

分布のすべての特性は対称です${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta .}$^{[ 1 ]}

K分布は、合成開口レーダー（SAR）画像で使用される統計モデルまたは確率モデルの結果として生じる。K分布は、レーダー断面積を表す確率分布と、コヒーレントイメージングの特徴であるスペックルを表す確率分布という、2つの異なる確率分布を合成することによって形成される。また、無線通信において、複合的な高速フェージングおよびシャドウイング効果をモデル化するためにも使用される。

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