陪審員の安定性基準

信号処理と制御理論において、ジュリーの安定性基準は、離散時間線形システムの安定性を 、その特性多項式の係数の分析によって判定する方法である。これは、ラウス-フルヴィッツの安定性基準の離散時間版である。ジュリーの安定性基準では、システムの極が原点を中心とする単位円の内側にあることが必要であるのに対し、ラウス-フルヴィッツの安定性基準では、極が複素平面の左半分にあることが必要である。ジュリー基準は、エリアフ・イブラハム・ジュリーにちなんで名付けられました。

システムの特性多項式が次のように与えられるとすると

$${\displaystyle f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\dots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}}$$

表は次のように構築されます。^[1]

$${\displaystyle {\begin{array}{lcccccc}{\underline {\text{row}}}&\ {\underline {z^{n}}}\ &\ {\underline {z^{n-1}}}\ &\ {\underline {z^{n-2}}}\ &\ \cdots \ &\ {\underline {z^{1}}}\ &\ {\underline {z^{0}}}\ \\[8pt]1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\[4pt]2&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\[10pt]3&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-2}&b_{n-1}\\[4pt]4&b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &b_{1}&b_{0}\\[10pt]5&c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n-2}&\\[4pt]6&c_{n-2}&c_{n-3}&\cdots &c_{0}&&\\[10pt]\ \!\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\\[10pt]2n-5\quad &p_{0}&p_{1}&p_{2}&p_{3}&&\\[4pt]2n-4&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&&\\[10pt]2n-3&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&\end{array}}}$$

つまり、最初の行は多項式の係数を順番に並べたもので、2 番目の行は最初の行を逆順に並べたもので共役になっています。

表の 3 行目は、1 行目から 2 行目を減算して計算され、4 行目は、最初のn要素を逆にした 3 行目です (最後の要素は 0 です)。 ${\displaystyle {\tfrac {a_{n}}{a_{0}}}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&\quad a_{n}\quad \\[4pt]a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\[4pt]a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&\dots &a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&0\\[4pt]a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&\dots &a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&0\end{array}}}$$

テーブルの拡張は、ゼロ以外の要素が 1 つだけ含まれる行に到達するまで、この方法で続行されます。

最初の 2 行ではであることに注意してください。3 行目と 4 行目では係数が変わります (つまり)。これは、次数が 1 つ少ない新しい多項式として表示され、その後継続します。 ${\displaystyle {\tfrac {a_{n}}{a_{0}}}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle {\tfrac {b_{n-1}}{b_{0}}}}$

...の負の値ごとに、多項式は単位円の外側に 1 つの根を持ちます。これは、安定性をチェックするときに最初の負の値が見つかった後にメソッドを停止できることを意味します。 ${\displaystyle {a_{0}}>0}$${\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}$

この方法は、コンピュータ上の動的配列を使用して簡単に実装できます。また、すべての根 (複素数と実数) の係数が単位円内にあるかどうかも示します。ベクトルvには、最高次数から最低次数の順に、元の多項式の実数係数が含まれます。

        /* vvd は陪審員配列です */ 
vvd . push_back ( v ); // 最初の行を格納します。reverse ( v . begin (), v . end ()); vvd . push_back ( v ); // 2 番目の行を格納します。         
        
         

        for ( i = 2 ;; i += 2 ) { v . clear (); double mult = vvd [ i -2 ][ vvd [ i -2 ] . size () -1 ] / vvd [ i -2 ][ 0 ]; // これは記事に記載されている an/a0 です。 
        
            
                

            for ( j = 0 ; j < vvd [ i -2 ]. size () -1 ; j ++ ) // 最後の 2 行を取得して次の行を計算しますv . push_back ( vvd [ i -2 ][ j ] - vvd [ i -1 ][ j ] * mult );    
                       

            vvd.push_back ( v ); reverse ( v.begin ( ), v.end ( )); //次の行を反転します。vvd.push_back ( v ) ; if ( v.size ( ) == 1 ) break ; }
              
            
                
         

         
// チェックはfor ( i = 0 ; i < vvd . size (); i += 2 ) { if ( vvd [ i ][ 0 ] <= 0 ) break ; }を使用して行われます。            
         
                
         

         if ( i == vvd . size ()) "すべての根は単位円の内側にあります " else "いいえ"   
              
         
              

• リエナール・チップール基準、ラウス・ハーヴィッツから派生した別の安定性基準（連続時間システム用）

詳細については、次の参考資料を参照してください。

• 縮小されたシューア・コーン基準に関する注記
• 制御システムに関するウィキブック - 陪審員テスト

高度なリソースについては、以下をご覧ください。

• 2008年8月2日、Wayback Machineにアーカイブ
• Benidir, M. (1996). 「単位円に関する一般多項式の根分布について」.信号処理. 53 (1): 75–82. Bibcode :1996SigPr..53...75B. doi :10.1016/0165-1684(96)00077-1.
• http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

実装の場合:

• http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (TI-83+/84+ グラフ電卓)