ジェームズのスペース

関数解析として知られる数学の分野において、ジェームズの空間はバナッハ空間の理論における重要な例であり、一般バナッハ空間の構造に関する一般的な主張に対する有用な反例としてよく用いられる。この空間は1950年にロバート・C・ジェームズの短い論文で初めて紹介された。^[1]

ジェームズ空間は、その二重双対と等長的に同型でありながら、反射的ではない空間の例として機能します。さらに、ジェームズ空間には基底がありますが、無条件基底はありません。

を奇数長の整数の有限増加列の族とします。任意の実数列とに対して、量を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle x=(x_{n})}$${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.}$

Jで表されるジェームズ空間は、 を満たす c ₀のすべての元xとして定義され、ノルム が与えられます。 ${\displaystyle \sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}}\}}\infty }$${\displaystyle \|x\|:=\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\ (x\in \mathbf {J} )}$

出典: ^[2]

• ジェームズの空間はバナッハ空間です。
• 標準基底{ e _{n } は}Jの(条件付き) Schauder 基底です。さらに、この基底は単調かつ縮小基底です。
• J には無条件の根拠がありません。
• ジェームズの空間は反射的ではありません。標準埋め込みによるその二重双対への像は余次元1 を持ちます。
• しかしながら、ジェームズの空間はその二重双対と等長的に同型である。
• ジェームズの空間はある程度反射的であり、すべての閉じた無限次元部分空間には無限次元反射部分空間が含まれます。特に、すべての閉じた無限次元部分空間にはℓ ₂の同型コピーが含まれます。

• バナッハ空間
• ツィレルソン空間