ヤコブスタール数

数学において、ヤコブスタール数はドイツの数学者エルンスト・ヤコブスタールにちなんで名付けられた整数列である。関連するフィボナッチ数と同様に、ヤコブスタール数はP  = 1、Q  = −2 ^[1]となる特定のタイプのルーカス数列であり、同様の再帰関係によって定義される。簡単に言えば、数列は 0 と 1 で始まり、その後の各数は、その前の数にその前の数の 2 倍を加算することで求められる。最初のヤコブスター数は以下のとおりである。 ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$

0、1、1、3、5、11、21、43、85、171、341、683、1365、2731、5461、10923、21845、43691、87381、174763、349525、…（OEISのシーケンスA001045 ）​​​​​​​​​​​​​

ヤコブスター素数は、素数でもあるヤコブスター数です。最初のヤコブスター素数は次のとおりです。

3、5、11、43、683、2731、43691、174763、2796203、715827883、2932031007403、768614336404564651、201487636602438195784363、845100400152152934331135470251、56713727820156410577229101238628035243、…（OEISの配列A049883）

ヤコブスタール数は再帰関係によって定義されます。

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

次のヤコブスタール数もまた、再帰式で与えられる。

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n},}$

または

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}.}$

上記の 2 番目の再帰式も2 の累乗によって満たされます。

シーケンスの特定の点におけるヤコブスタール数は、次の閉形式方程式を使用して直接計算することができる。^[2]

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

ヤコブスタール数の 生成関数は

${\displaystyle {\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.}$

ヤコブスター数の逆数の合計は約 2.7186 で、 eよりわずかに大きくなります。

ヤコブスタール数は、再帰関係または明示的な公式を使用して負の指数に拡張することができ、

${\displaystyle J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}}$（OEIS：A077925を参照）

以下のアイデンティティが成立する

${\displaystyle 2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}}$（OEIS：A139818を参照）

${\displaystyle J_{n}=F_{n}+\sum _{i=0}^{n-2}J_{i}F_{ni-1}}$ここで、n 番目のフィボナッチ数です。${\displaystyle F_{n}}$

ヤコブスタール・ルーカス数は相補ルーカス数列を表します。ヤコブスタール数と同じ再帰関係を満たしますが、初期値が異なります。 ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

次のヤコブスタール・ルーカス数も満たす：^[2]

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,}$

シーケンスの特定の点におけるヤコブスタール・ルーカス数は、次の閉形式方程式を使用して直接計算することができる。^[2]

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,}$

最初のヤコブスタール・ルーカス数は次のとおりです。

2、1、5、7、17、31、65、127、257、511、1025、2047、4097、8191、16385、32767、65537、131071、262145、524287、1048577、…（OEISの配列A014551 ）。​​​​​​​​​​​​​​

最初のヤコブスタール長楕円数は、0、1、3、15、55、231、903、3655、14535、58311、…（OEISのシーケンスA084175） です。

${\displaystyle Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}}$