ヤコブスタール数

数学において、ヤコブスタール数は、ドイツの数学者エルンスト・ヤコブスタールにちなんで名付けられた整数列である。関連するフィボナッチ数列と同様に、ヤコブスタール数はルーカス数列の特定の種類である。${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$P  = 1、Q  = − 2 ^{[ 1 ]}となる数列は、同様の漸化式で定義されます。簡単に言うと、数列は 0 と 1 から始まり、その後の各数は、その前の数にその前の数の 2 倍を加えることで求められます。最初のヤコブスタール数は次のとおりです。 

0、1、1、3、5、11、21、43、85、171、341、683、1365、2731、5461、10923、21845、43691、87381、174763、349525、…（OEISのシーケンスA001045）​​​​​​​​​​​​​​

ヤコブスタール素数とは、ヤコブスタール数であり、かつ素数でもある数のことである。最初のヤコブスタール素数は以下のとおりである。

3、5、11、43、683、2731、43691、174763、2796203、715827883、2932031007403、768614336404564651、201487636602438195784363、845100400152152934331135470251、56713727820156410577229101238628035243、… （ OEISのシーケンスA049883）

ヤコブスタール数は、次の漸化式によって定義される。

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

次のヤコブスタール数も漸化式で与えられる。

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n},}$

または

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}.}$

上記の2番目の漸化式も2のべき乗によって満たされます。

数列の特定の時点でのヤコブスタール数は、閉形式の方程式を使用して直接計算できます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

ヤコブスタール数の生成関数は

${\displaystyle {\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.}$

ヤコブスタール数の逆数の合計は約 2.7186 であり、 eよりわずかに大きい。

ヤコブスタール数は、漸化式または明示的な式を用いて負の指数に拡張することができ、

${\displaystyle J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}}$（OEIS：A077925 を参照）

以下の恒等式が成り立つ

${\displaystyle 2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}}$（OEIS：A139818 を参照）

${\displaystyle J_{n}=F_{n}+\sum _{i=0}^{n-2}J_{i}F_{ni-1}}$どこ${\displaystyle F_{n}}$はn番目のフィボナッチ数です。

ヤコブスタール・ルーカス数は相補ルーカス数列を表す${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$これらはヤコブスタール数と同じ漸化式を満たすが、初期値は異なる。

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

以下のヤコブスタール・ルーカス数も満たす：^{[ 2 ]}

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,}$

シーケンス内の特定の時点でのヤコブスタール・ルーカス数は、閉形式の方程式を使用して直接計算できます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,}$

最初のヤコブスタール・ルーカス数は次のとおりです。

2、1、5、7、17、31、65、127、257、511、1025、2047、4097、8191、16385、32767、65537、131071、262145、524287、1048577、…（OEISのシーケンスA014551 ）。​​​​​​​​​​​​​​​​

最初のヤコブスタール長方形番号は、0、1、3、15、55、231、903、3655、14535、58311、… （ OEISのシーケンスA084175）です。

${\displaystyle Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}}$