ヤコビの公式

行列計算において、ヤコビの公式は行列Aの行列式の微分をAの共役とAの微分で表す。^[1]

Aが実数からn  ×  n行列への微分可能な写像である場合、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}$

ここでtr( X )は行列Xのトレースであり、その随伴行列です。（後者の等式はA ( t )が逆行列である場合にのみ成立します。） ${\displaystyle \operatorname {adj} (X)}$

特別なケースとして、

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}.}$

同様に、dAがAの微分を表す場合、一般式は次のようになる。

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}dA\right)}$

この式は数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられました。

定理。 （ヤコビの公式）実数からn  ×  n行列 への任意の微分可能写像Aに対して、

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).}$

証明。 行列Aの行列式のラプラスの公式は次のように表される。

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

合計は行列の任意の行iに対して実行されることに注意してください。

Aの行列式は、Aの要素の関数と考えることができます。

${\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}$

したがって、連鎖律により、その微分は

${\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}.}$

この合計は、行列の すべてのn × n要素に対して実行されます。

∂ F /∂ A _ijを求めるには、ラプラスの公式の右側の項で、インデックスi を自由に選択できることを考慮してください。(計算を最適化するため: 他の選択でも最終的には同じ結果になりますが、はるかに難しくなる可能性があります)。特に、 ∂ / ∂ A _ijの最初のインデックスと一致するように選択できます。

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}$

したがって、積の法則により、

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

ここで、行列A _ijの要素と要素A _ikの補因子adj ^T ( A ) _ikが同じ行（または列）にある場合、補因子はA _ijの関数にはなりません。これは、 A _ikの補因子が、その行（または列）にない要素によって表現されるためです。したがって、

${\displaystyle {\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0,}$

それで

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

Aのすべての要素は互いに独立している。つまり

${\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk},}$

ここでδはクロネッカーのデルタなので、

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

したがって、

${\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}=\sum _{j}\sum _{i}\operatorname {adj} (A)_{ji}\,dA_{ij}=\sum _{j}(\operatorname {adj} (A)\,dA)_{jj}=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).\ \square }$

補題 1. 、ここで はの微分です。 ${\displaystyle \det '(I)=\mathrm {tr} }$${\displaystyle \det '}$${\displaystyle \det }$

この式は、単位行列で評価されたの微分がトレースに等しいことを意味します。微分は、 n × n行列を実数に マッピングする線形演算子です。${\displaystyle \det }$${\displaystyle \det '(I)}$

証明。方向微分の定義と微分可能関数の基本的な性質の1つを組み合わせると、

${\displaystyle \det '(I)(T)=\nabla _{T}\det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle \det(I+\varepsilon T)}$は、 n次多項式です。の特性多項式と密接に関連しています。 その多項式の定数項（ の項）は 1 ですが、 の線形項はです。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathrm {tr} \ T}$

補題2.可逆行列Aに対して、次式が成り立ちます。 ${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\;\mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

証明。Xの次の関数を考えます。

${\displaystyle \det X=\det(AA^{-1}X)=\det(A)\ \det(A^{-1}X)}$

補題1、上記の式、連鎖律を使用して、 の微分を計算し、 で評価します。${\displaystyle \det X}$${\displaystyle X=A}$

${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

定理。（ヤコビの公式） ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A{\frac {dA}{dt}}\right)}$

証明。補題2により、が逆であれば、${\displaystyle A}$${\displaystyle T=dA/dt}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A\;{\frac {dA}{dt}}\right)}$

の加法行列を に関連付ける方程式を使用します。可逆な線形行列の集合は行列の空間で稠密であるため、この式はすべての行列に対して成り立ちます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$

ヤコビの公式の両辺は、AとA'の行列係数の多項式です。したがって、 Aの固有値が異なり、ゼロでない 密な部分集合上で多項式の恒等式を検証すれば十分です。

Aが として微分可能である場合、 ${\displaystyle A=BC}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} ((BC)^{-1}(BC)')=\mathrm {tr} (B^{-1}B')+\mathrm {tr} (C^{-1}C').}$

特に、Lが逆関数である場合 、${\displaystyle I=L^{-1}L}$

${\displaystyle 0=\mathrm {tr} (I^{-1}I')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (L^{-1}L').}$

Aは異なる固有値を持つので、 Dが対角となるような 微分可能な複素逆行列Lが存在する。すると ${\displaystyle A=L^{-1}DL}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (D^{-1}D')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')=\mathrm {tr} (D^{-1}D').}$

をA の固有値とする。すると ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\frac {\det(A)'}{\det(A)}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'/\lambda _{i}=\mathrm {tr} (D^{-1}D')=\mathrm {tr} (A^{-1}A'),}$

これは、異なる非ゼロの固有値を持つ行列Aのヤコビの公式です。

以下は、トレースと関連する行列指数の行列式を結び付ける便利な関係です。

この記述は対角行列については明らかであり、一般的な主張の証明は次の通りです。

任意の可逆行列 に対して、前のセクション「連鎖律による」で、次のことを示しました。 ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\;\operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}$

この式を 考慮すると次のようになります。${\displaystyle A(t)=\exp(tB)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det e^{tB}=\operatorname {tr} (B)\det e^{tB}}$

望ましい結果は、この常微分方程式の解として得られます。

特性多項式を計算するためのFaddeev-LeVerrier アルゴリズムや、ケーリー-ハミルトン定理の明示的な応用には、この式のいくつかの形式が基礎となっています。たとえば、上で証明した次の式から始めます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\ \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}$

を使用すると次のようになります。 ${\displaystyle A(t)=tI-B}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det(tI-B)=\det(tI-B)\operatorname {tr} [(tI-B)^{-1}]=\operatorname {tr} [\operatorname {adj} (tI-B)]}$

ここで、adjは付加行列を表します。

• Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999)。統計学と計量経済学における行列微分計算の応用（改訂版）。Wiley。ISBN 0-471-98633-X。
• ベルマン、リチャード (1997)。行列分析入門。SIAM。ISBN 0-89871-399-4。