逆さにしたスナブ十二面体

幾何学において、逆スナブ十二面体（またはバーティスナブ十二面体）は、非凸一様多面体であり、U ₆₀でインデックス付けされる。^[1]シュレーフリ記号は sr{5/3,5}である。

を多項式 の最大の実数零点とする。を黄金比 で表す。点を次のように表す。 ${\displaystyle \xi \approx 2.109759446579943}$${\displaystyle P=2x^{4}-5x^{3}+3x+1}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\phi ^{-2}\xi ^{2}-\phi ^{-2}\xi +\phi ^{-1}\\-\phi ^{2 }\xi ^{2}+\phi ^{2}\xi +\phi \\\xi ^{2}+\xi \end{pmatrix}}}$。

行列を次のように表すと します。${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$。

${\displaystyle M}$は、軸の周りを反時計 回りに角度だけ回転することです。線形変換は、点を 偶数個のマイナス符号を持つの偶数順列に 送る変換とします。変換は、正四面体の回転対称性のグループを構成します。変換、 は、正二十面体 の回転対称性のグループを構成します。すると、60 点は 、スナブ十二面体の頂点になります。辺の長さは、外接半径は、中半径は に等しくなります。 ${\displaystyle (1,0,\phi )}$${\displaystyle 2\pi /5}$${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$${\displaystyle 2(\xi +1){\sqrt {\xi ^{2}-\xi }}}$${\displaystyle (\xi +1){\sqrt {2\xi ^{2}-\xi }}}$${\displaystyle \xi ^{2}+\xi }$

辺の長さが1である大正十二面体の場合、円周半径は

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\xi -1}{\xi -1}}}\approx 0.8516302281174128}$

その中半径は

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi -1}}}\approx 0.6894012223976083}$

Pのもう一つの実根は、スナブ十二面体の説明において同様の役割を果たす。

中位逆五角六十面体（または中位花弁状二三十面体）は、非凸等面体 多面体です。これは、一様逆十二十二面体の双対です。その面は、1 つの非常に鋭角な角を持つ、不規則な非凸五角形です。

黄金比を で表し、 を多項式 の最大（負の値が最も小さい）実数零点とします。すると、各面には の等しい角度が 3 つ、 の角度が 1 つ、 の角度が 1 つあります。各面には、中程度の長さの辺が 1 つ、短い辺が 2 つ、長い辺が 2 つあります。中程度の長さが の場合、短い辺の長さは で 、長い辺の長さは です 。 二面角はに等しくなります。多項式のもう 1 つの実数零点は、中五角形六十面体に対して同様の役割を果たします。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \xi \approx -0.236\,993\,843\,45}$${\displaystyle P=8x^{4}-12x^{3}+5x+1}$${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 103.709\,182\,219\,53^{\circ }}$${\displaystyle \arccos(\phi ^{2}\xi +\phi )\approx 3.990\,130\,423\,41^{\circ }}$${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(\phi ^{-2}\xi -\phi ^{-1})\approx 224.882\,322\,917\,99^{\circ }}$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {1-\xi }{\phi ^{3}-\xi }}}\approx 0.474\,126\,460\,54,}$$$${\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{\phi ^{-3}-\xi }}}\approx 37.551\,879\,448\,54.}$$${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 108.095\,719\,352\,34^{\circ }}$${\displaystyle P}$

• 均一多面体の一覧
• スナブ十二面体

• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208124ページ

• Weisstein、Eric W.「中位逆五角形六十面体」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「反転したスナブ十二面体」。MathWorld。