ベッティの定理

ベッティの定理は、マクスウェル・ベッティの逆仕事定理としても知られ、 1872年にエンリコ・ベッティによって発見され、2組の力{P _i } i=1,...,nと{Q _j }, j=1,2,...,nの影響を受ける線形弾性構造について、集合Pによって行われる仕事と集合Qによって生じる変位は、集合Qによって行われる仕事と集合Pによって生じる変位に等しいと述べています。この定理は構造工学に応用されており、影響線を定義したり境界要素法を導出したりするために使用されます。

ベッティの定理は、トポロジー最適化アプローチによるコンプライアント機構の設計に使用されます。

およびと呼ばれる一対の外力系を受ける固体を考えます。各力系によって変位場が生じ、外力の作用点で測定された変位が および と呼ばれるものと仮定します。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$${\displaystyle F_{i}^{Q}}$${\displaystyle d_{i}^{P}}$${\displaystyle d_{i}^{Q}}$

力システムが構造物に適用されると、外部力システムによって実行される仕事とひずみエネルギーのバランスは次のようになります。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

力システムに関連する仕事とエネルギーのバランスは次のとおりです。 ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

ここで、力システムが適用された状態で、力システムが続いて適用されることを考慮します。 はすでに適用されているため、余分な変位は発生しません。そのため、仕事とエネルギーのバランスは次の式で表されます。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$${\displaystyle F_{i}^{Q}}$${\displaystyle F_{i}^{P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\オメガ }$

逆に、すでに適用された力のシステムとその後に適用された外部力のシステムを考慮すると、仕事とエネルギーのバランスは次の式になります。 ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$${\displaystyle F_{i}^{P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\オメガ }$

外力系が単独で適用される場合の仕事エネルギーバランスを、外力系が同時に適用される場合の仕事エネルギーバランスからそれぞれ差し引くと、次の式が得られます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

力のシステムが適用される固体が線形弾性材料で形成され、力のシステムが物体内で微小な歪みのみが観察されるようなものである場合、フックの法則に従う物体の構成方程式は次のように表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}}$

この結果を前の方程式に置き換えると、次の結果が得られます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{P}\epsilon _{kl}^{Q}\,d\Omega }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{Q}\epsilon _{kl}^{P}\,d\Omega }$

両方の方程式を減算すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}}$

簡単な例として、m=1、n=1 とします。水平ビーム上に 2 つの点 (点 1 と点 2) が定義されているとします。まず、点 1 に垂直力 P を適用し、点 2 の垂直変位を測定します ( と表記) 。次に、力 P を取り除き、点 2 に垂直力 Q を適用します。これにより、点 1 の垂直変位 が生成されます。ベッティの相互定理は、次のことを述べています。 ${\displaystyle \Delta _{P2}}$${\displaystyle \Delta _{Q1}}$

${\displaystyle P\,\Delta _{Q1}=Q\,\Delta _{P2}.}$

• ダランベールの原理

• A. Ghali、AM Neville (1972)。構造分析：統合された古典的および行列的アプローチ。ロンドン、ニューヨーク：E & FN SPON。p. 215。ISBN 0-419-21200-0。