独立チップモデル

ポーカー において、独立チップモデル（ICM）はマルマス・ハービル法とも呼ばれ、^[1]不完全なトーナメントにおけるプレイヤーの全体的なエクイティを近似する数学モデルです。デビッド・ハービルは1973年に競馬に関する論文でこのモデルを初めて開発しました。^[2] 1987年にメイソン・マルマスはポーカー用に独自に再発見しました。^[3] ICMでは、すべてのプレイヤーのスキルが同等であるため、現在のスタックサイズによってプレイヤーの最終順位の確率分布が完全に決まります。次に、モデルはこの確率分布を近似し、予想される賞金を計算します。^{[4] [5]}

ポーカープレイヤーは、トーナメントの戦略を立てるのに役立つシミュレーターを意味するためにICMという用語をよく使用します。ICMは、次のような特定の質問に答えるために使用できます。 ^{[6] [7]}

• これまでのプレイを考慮して、プレイヤーがオールインできるハンドの範囲
• プレイヤーが他のプレイヤーのオールインにコールしたり、オールインをオーバートップで実行したりできるハンドの範囲。また、残りの対戦相手のスタックを考慮して、どの行動が最適であるか。
• 契約を議論する際、各選手が受け取るべき金額は

このようなシミュレーターでは、修正されていないマルムス・ハービルモデルが使用されることはほとんどありません。支払い構造に加えて、マルムス・ハービルICM計算機は、すべてのプレーヤーのチップカウントを入力として必要としますが、^[8]これは常に利用できるとは限りません。マルムス・ハービルモデルは、起こりそうもないイベントの推定値も低く、プレーヤーの数が多いと計算が困難になります。

オリジナルの ICM モデルは次のように動作します。

• 各プレイヤーが1位になる可能性は、プレイヤーのチップ数に比例します。^[9]
• そうでなければ、プレーヤーkが1位になった場合、プレーヤーiは2位になる確率は$${\displaystyle \mathbb {P} \left[X_{i}=2\mid X_{k}=1\right]={\frac {x_{i}}{1-x_{k}}}}$$
• 同様に、プレイヤーm ₁、...、m _{j -1 が}それ​​ぞれ 1 位、...、( j -1)^位で終了した場合、プレイヤーi は確率j で終了する^。$${\displaystyle \mathbb {P} \left[X_{i}=j\mid X_{m_{z}}=z\quad (1\leq z<j)\right]={\frac {x_{i}}{1-\sum _{z=1}^{j-1}{x_{m_{z}}}}}}$$
• プレイヤーの最終ランキングの結合分布は、これらの条件付き確率の積になります。
• 期待される支払額は、 n 人のプレイヤーのすべてのn !個の可能なランキングにわたるこれらの結合確率の支払額加重合計です。

たとえば、プレイヤー A、B、C がそれぞれトーナメント チップの 50%、30%、20% を持っているとします。1 位の配当は 70 ユニット、2 位の配当は 30 ユニットです。ここで、パーセンテージは、プレイヤーの現在のスタックに対する予想配当を表します。 $${\displaystyle \mathbb {P} [A=1,B=2,C=3]=0.5\cdot {\frac {0.3}{1-0.5}}=0.3}$$$${\displaystyle \mathbb {P} [A=1,C=2,B=3]=0.5\cdot {\frac {0.2}{1-0.5}}=0.2}$$$${\displaystyle \mathbb {P} [B=1,A=2,C=3]=0.3\cdot {\frac {0.5}{1-0.3}}\approx 0.21}$$$${\displaystyle \mathbb {P} [B=1,A=3,C=2]=0.3\cdot {\frac {0.2}{1-0.3}}\approx 0.09}$$$${\displaystyle \mathbb {P} [C=1,A=2,B=3]=0.2\cdot {\frac {0.5}{1-0.2}}\approx 0.13}$$$${\displaystyle \mathbb {P} [C=1,A=3,B=2]=0.2\cdot {\frac {0.3}{1-0.2}}\approx 0.08}$$$${\displaystyle \mathrm {ICM} (A)=70(0.3+0.2)+30(0.21\cdots +0.13\cdots )\approx 45\approx 90\%}$$$${\displaystyle \mathrm {ICM} (B)=70(0.21\cdots +0.09\cdots )+30(0.3+0.08\cdots )\approx 32\approx 110\%}$$$${\displaystyle \mathrm {ICM} (C)=70(0.13\cdots +0.08\cdots )+30(0.2+0.09\cdots )\approx 22\approx 110\%}$$

ICM はプレイヤーのスキルを無視するため、古典的なギャンブラーの破産問題も省略されたポーカー ゲームをモデル化しますが、より正確にモデル化します。Harville-Malmuth の公式は、2 人のプレイヤーの場合のみギャンブラーの破産推定値と一致します。^[9] 3 人以上のプレイヤーの場合、それらは誤解を招く確率を与えますが、期待される支払いを適切に近似します。^[10]

例えば、プレイヤーが非常に少ない場合（3人か4人）を想定します。この場合、有限要素法（FEM）はギャンブラーの破産を正確に解くのに十分です。^{[11] [12]} 極端なケースは次のとおりです。

25/87/88 のゲーム ステートでは、ICM と FEM の確率の絶対差が最大 (0.0360) となり、トーナメント エクイティ差も最大 ($0.36) となります。ただし、相対エクイティ差はわずか 1.42% と小さいです。最大の相対差はわずかに大きい (1.43%) だけで、21/89/90 のゲームに相当します。198/1/1 のゲーム ステートでは、相対確率差が最大 (4900%) となりますが、これは極めて起こりそうにないイベントの場合のみです。

4 人プレイの場合の結果も同様です。

• ハリントン、ダン、ロバーティ、ビル (2014)。『ハリントンの現代トーナメントポーカー論』 。Two Plus Two Publishing LLC。ISBN 978-1-880685-56-3。ハリントンは 108 ～ 122 ページで ICM について説明しています。
• コリン・モッシュマン (2007 年 7 月)。『シット アンド ゴー戦略: ワンテーブル ポーカー トーナメントに勝つための専門家のアドバイス』。Two Plus Two Publishing LLC。122 ページ～。ISBN 978-1-880685-39-6。
• ジョナサン・グロテンシュタイン、ストームズ・リバック（2013 年 1 月 15 日）。Ship It Holla Ballas!: 19 歳の大学中退者たちがインターネットを使ってポーカー界で最も騒々しく、クレイジーで、リッチなクルーになった経緯。セント・マーティンズ・プレス。17 ページ～。ISBN 978-1-250-00665-3。