古典的静電気の計算手法
像電荷法 （ 像法 、 鏡像電荷法 とも呼ばれる）は 、静電気学 における基本的な問題解決ツールです 。この名前は、元のレイアウトの特定の要素を架空の電荷に置き換えて、問題の境界条件を再現することに由来しています（ ディリクレ境界条件 または ノイマン境界条件 を参照）。
イメージ電荷法の妥当性は、 一意性定理 の系に依存しており、これは、 領域全体の電荷密度とすべての境界上の 電位の値の両方が指定されている場合、体積 V内の電位が一意に決定されることを述べています。あるいは、この系を ガウスの法則 の微分形式に適用すると、 導体に囲まれ、指定された電荷密度 ρ を 含む体積 V では、各導体上の総電荷が与えられている場合、電界が一意に決定されることがわかります。電位または電界のいずれかと対応する境界条件の知識があれば、対象領域で ポアソン方程式を 満たし、境界で正しい値を想定する限り、検討している電荷分布をより分析しやすい構成に置き換えることができます。 [1]
導体面における反射 イメージ法によって発見された、平らな導電表面上の正電荷の場。 導電面における電気双極子モーメントのイメージ法
ポイントチャージ イメージ電荷法の最も単純な例は、電荷q を持つ点電荷が、 xy 平面の 無限大の 接地された （すなわち、 ）導電板の上 に位置する場合である。この問題を単純化するために、等電位の板を 、 に位置する 電荷 − q に置き換えることができる。この配置は、 （すなわち、導電板の上）のどの点にも同じ電界を生成し 、板に沿った電位がゼロでなければならないという境界条件を満たす。この状況は元の設定と同等であるため、実電荷に働く力は、 2 つの点電荷間の クーロンの法則で計算できる。 [2]
（ 0 、 0 、 1つの ）
{\displaystyle (0,0,a)}
五 = 0
{\displaystyle V=0}
（ 0 、 0 、 − 1つの ）
{\displaystyle (0,0,-a)}
ず > 0
{\displaystyle z>0}
空間の任意の点における電位は、 z 軸上の+ a における+ q と -a における -q の2つの点電荷によるもので、 円筒座標 では次のように
表される。
五
（
ρ 、 φ 、 ず
）
=
1
4 π
ε
0
（
q
ρ
2
+
（
ず − 1つの
）
2
+
− q
ρ
2
+
（
ず + 1つの
）
2
）
{\displaystyle V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(za\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,}
したがって、接地面上の表面電荷密度は次のように表さ
れる 。
σ = −
ε
0
∂ 五
∂ ず
|
ず = 0
=
− q 1つの
2 π
（
ρ
2
+
1つの
2
）
3
/
2
{\displaystyle \sigma =-\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}}
さらに、導電面に誘導される 総 電荷は、導電面全体の電荷密度の積分となるため、次のようになります。
質問
t
=
∫
0
2 π
∫
0
∞
σ
（ ρ ）
ρ d ρ d θ
=
− q 1つの
2 π
∫
0
2 π
d θ
∫
0
∞
ρ d ρ
（
ρ
2
+
1つの
2
）
3
/
2
= − q
{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}
平面上に誘導される全電荷は単純に − q となる。これは ガウスの法則 からもわかるよう に、遠距離では双極子場は距離の 3 乗で減少し、したがって無限大の球を通る場の全磁束は消滅する。
電場は 重ね合わせの原理 を満たすため、複数の点電荷の下の導電面は、他の変更を必要とせずに、各電荷の鏡像に個別に置き換えることができます。
電気双極子モーメント xy 平面上の無限接地導電面上 の電気双極子モーメント p の像は、大きさと方向が等しい 双極子モーメントを 方位角方向にπ回転させたものである。つまり、直交座標成分を持つ双極子モーメントは、 像双極子モーメントを持つ。双極子は 、次式で表される
z 方向の力を受ける。
(
0
,
0
,
a
)
{\displaystyle (0,0,a)}
(
0
,
0
,
−
a
)
{\displaystyle (0,0,-a)}
(
p
sin
θ
cos
ϕ
,
p
sin
θ
sin
ϕ
,
p
cos
θ
)
{\displaystyle (p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}
(
−
p
sin
θ
cos
ϕ
,
−
p
sin
θ
sin
ϕ
,
p
cos
θ
)
{\displaystyle (-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}
F
=
−
1
4
π
ε
0
3
p
2
16
a
4
(
1
+
cos
2
θ
)
{\displaystyle F=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}
双極子と導電面に垂直な面内のトルク、
τ
=
−
1
4
π
ε
0
p
2
16
a
3
sin
2
θ
{\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta }
誘電体平面界面における反射 導電面と同様に、2つの異なる誘電体 媒体間の平面界面の場合も 考えられます。 誘電率 の誘電体に点電荷を配置すると 、界面（誘電率 の誘電体との ）には束縛分極電荷が発生します。粒子を含む誘電体内の結果として生じる電界は、他の誘電体内の鏡像電荷によって説明できる方法で変更されることがわかります。ただし、他の誘電体内には鏡像電荷は存在しません。 [3]
q
{\displaystyle q}
ϵ
1
{\displaystyle \epsilon _{1}}
ϵ
2
{\displaystyle \epsilon _{2}}
金属の場合とは異なり、鏡像電荷は 実電荷と正確に反対ではありません。 電荷がより強い誘電体内に配置されている場合、同じ符号を持たないこともあります（電荷は誘電率の低い領域から反発されます）。これは式からわかります。
q
′
{\displaystyle q'}
q
′
=
ε
1
−
ε
2
ε
1
+
ε
2
q
{\textstyle q'={\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}q}
導電性球における反射 半径R の球に対するラプラス方程式の像法を示した図 。緑の点は、 球の内部で 原点から距離 pにある電荷 qです。赤い点は、その点の像で、電荷 − qR / p を持ち、球の外部で原点から距離 R 2 / p にある。2 つの電荷によって生成される電位は、球の表面上ではゼロです。 接地された球体の外側に配置された電荷に対する、球体の外側の磁力線。 いくつかの表面では、点像電荷の無限の系列が必要です。
ポイントチャージ 像の方法は球にも適用できます。 [4] 実際、平面内の像電荷の場合は、球の像の場合の特殊なケースです。図を参照すると、原点を中心とする半径 R の接地球の 内部の 電位を、位置 にある球 内部の 点電荷によるものとしたいと思います (反対の場合、球外部の電荷による球外部の電位についても、同様の方法でこの方法が適用されます)。図では、これは緑の点で表されています。この点の点電荷を q と します。接地球に対するこの電荷の像は赤で示されています。これは q ′ = − qR / p の電荷を持ち、球の中心とベクトル位置 にある内部電荷を結ぶ線上にあります。半径ベクトルで指定された点における 両方の電荷のみによる
電位は、電位の合計で与えられることがわかります。
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
(
R
2
/
p
2
)
p
{\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
4
π
ε
0
V
(
r
)
=
q
|
r
1
|
+
(
−
q
R
/
p
)
|
r
2
|
=
q
r
2
+
p
2
−
2
r
⋅
p
+
(
−
q
R
/
p
)
r
2
+
R
4
p
2
−
2
R
2
p
2
r
⋅
p
{\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}}
右端の式を乗算すると次のようになります。
V
(
r
)
=
1
4
π
ε
0
[
q
r
2
+
p
2
−
2
r
⋅
p
−
q
r
2
p
2
R
2
+
R
2
−
2
r
⋅
p
]
{\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}
そして、球の表面（つまり、 r = R のとき）では、電位がゼロになること がわかります。球の内部の電位は、2 つの電荷の電位に対する上記の式で与えられます。この電位は球の外部では有効ではあり ません 。なぜなら、イメージ電荷は実際には存在せず、内部電荷によって球に誘導される表面電荷密度の「代わり」となるからです。接地された球の外部の電位は、球の外部の電荷分布によってのみ決定され、球の内部の電荷分布とは無関係になります。単純化のために（一般性を失うことなく）、内部電荷が z 軸上にあると仮定すると、誘導電荷密度は単に 極角 θ の関数となり 、次のように与えられます。
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
σ
(
θ
)
=
ε
0
∂
V
∂
r
|
r
=
R
=
−
q
(
R
2
−
p
2
)
4
π
R
(
R
2
+
p
2
−
2
p
R
cos
θ
)
3
/
2
{\displaystyle \sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|_{r=R}={\frac {-q\left(R^{2}-p^{2}\right)}{4\pi R\left(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta \right)^{3/2}}}}
球体上の全電荷は、すべての角度にわたって積分することで求められます。
Q
t
=
∫
0
π
d
θ
∫
0
2
π
d
ϕ
σ
(
θ
)
R
2
sin
θ
=
−
q
{\displaystyle Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q}
この方法では逆数問題も解けることに注意してください。半径 R の接地球の外側の ベクトル位置に電荷 q が ある場合、球の外側の電位は、球の内側の電荷とその鏡像電荷の電位の合計によって与えられます。最初のケースと同様に、鏡像電荷は電荷 − qR / p を持ち、ベクトル位置に配置されます 。球の内部の電位は、球の内部の真の電荷分布にのみ依存します。最初のケースとは異なり、積分は値 − qR / p になります。
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
(
R
2
/
p
2
)
p
{\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }
電気双極子モーメント 電気点双極子 のイメージは、 もう少し複雑です。双極子が、短い距離で隔てられた 2 つの大きな電荷として描かれている場合、双極子のイメージは、上記の手順によって電荷が変更されるだけでなく、それらの間の距離も変更されます。上記の手順に従うと、半径 R の球の内側にある ベクトル位置に双極子モーメントを持つ双極子は、 ベクトル位置 (つまり、単純な電荷と同じ) にイメージがあり 、単純な電荷は次のようになります。
M
{\displaystyle M}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
(
R
2
/
p
2
)
p
{\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }
q
′
=
R
p
⋅
M
p
3
{\displaystyle q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}}
そして双極子モーメントは次のようになります。
M
′
=
(
R
p
)
3
[
−
M
+
2
p
(
p
⋅
M
)
p
2
]
{\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}
反転法 球面の像の方法は、直接的に反転法につながる。 [5] 位置の 調和関数（ 位置の 球面座標） が ある場合、 原点を中心とした
半径 R の球面におけるこの調和関数の像は、
Φ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}
r
,
θ
,
ϕ
{\displaystyle r,\theta ,\phi }
Φ
′
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
r
Φ
(
R
2
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \Phi '(r,\theta ,\phi )={\frac {R}{r}}\,\Phi {\left({\frac {R^{2}}{r}},\theta ,\phi \right)}}
位置 における 大きさの電荷の集合から 電位が生じる場合、イメージ電位は 位置 における 大きさの電荷の列の結果になります 。したがって、電位が 電荷密度 から生じる場合 、イメージ電位は電荷密度 の結果になります 。
Φ
{\displaystyle \Phi }
q
i
{\displaystyle q_{i}}
(
r
i
,
θ
i
,
ϕ
i
)
{\displaystyle (r_{i},\theta _{i},\phi _{i})}
R
q
i
/
r
i
{\displaystyle Rq_{i}/r_{i}}
(
R
2
/
r
i
,
θ
i
,
ϕ
i
)
{\displaystyle (R^{2}/r_{i},\theta _{i},\phi _{i})}
Φ
{\displaystyle \Phi }
ρ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \rho (r,\theta ,\phi )}
ρ
′
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
(
R
/
r
)
ρ
(
R
2
/
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \rho '(r,\theta ,\phi )=(R/r)\rho (R^{2}/r,\theta ,\phi )}
参照
参考文献
注記
出典
さらに読む 
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a03d16833f0088896884c1aa8259d793586ff3)
![{\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p ^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a551649c7613edb4f7df7f8b67ea1cab3b972287)
![{\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbc033cb7136c3efccaa6ce202eecc1b51a41a3)
