異時点間CAPM

数理ファイナンスにおいて、ICAPM（異時点間資本資産価格モデル）は、ロバート・マートンが提唱したCAPMの代替モデルであり、富を状態変数として将来の収益または所得の分布の変化を予測する線形因子モデルです。

ICAPM では、投資家は複数の不確実性に直面しながら生涯の消費決定を解決します。ICAPM と標準 CAPM の主な違いは、投資家が消費不足や将来の投資機会セットの変化に対してヘッジしているという事実を認識する追加の状態変数です。

マートン^[1]は均衡状態にある連続時間市場を考察する。状態変数(X)はブラウン運動に従う。

${\displaystyle dX=\mu dt+sdZ}$

投資家はフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用を最大化します。

${\displaystyle E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}}$

ここで、Tは時間範囲であり、B[W(T),T]は富(W)からの効用です。

投資家は富 (W) に関して次の制約条件を持ちます。を資産 i に投資する重みとします。すると、次のようになります。 ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]}$

ここで、資産 i の収益率です。富の変化は次のようになります。 ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}$

この問題を解決するには、動的プログラミングを使用できます。たとえば、一連の離散時間の問題を考えてみましょう。

${\displaystyle \max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}}$

次に、テイラー展開により次のようになります。

${\displaystyle \int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt}$

ここで、t と t+dt の間の値です。 ${\displaystyle t^{*}}$

リターンがブラウン運動に従うと仮定すると：

${\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}$

と：

${\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}$

次に、2 次以上の項を消去します。

${\displaystyle dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}$

ベルマン方程式を使用すると、問題を言い換えることができます。

${\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}}$

前述の富の制約に従います。

伊藤の補題を使うと書き直すことができます:

${\displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

期待値：

${\displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

いくつかの代数^[2]を経て 、次の目的関数が得られます。

${\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}$

ここで、リスクフリーリターンです。第一条件は次のとおりです。 ${\displaystyle r_{f}}$

${\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}$

行列形式では、次のようになります。

${\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

ここで、は期待収益のベクトル、は収益の共分散行列、単位ベクトルは収益と状態変数間の共分散です。最適な重みは次のとおりです。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathbf {1} }}$${\displaystyle cov_{rX}}$

${\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}$

異時点間モデルはCAPMと同じ重み付けを提供することに注意してください。期待収益は次のように表すことができます。

${\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}$

ここで、m は市場ポートフォリオであり、ha は状態変数をヘッジするためのポートフォリオです。

• 異時点間のポートフォリオ選択

• マートン、RC、(1973)、「異時点間資本資産価格モデル」、エコノメトリカ 41、第41巻、第5号、(1973年9月)、pp. 867-887
• 「マルチファクター ポートフォリオの効率性とマルチファクター資産価格設定」、Eugene F. Fama 著 ( The Journal of Financial and Quantitative Analysis )、第 31 巻、第 4 号、1996 年 12 月