ハッチンソンメトリック

数学において、ハッチンソン計量（別名カントロビッチ計量）は、「フラクタル画像処理で使用する2つの画像間の相違を測定する」関数であり、「実数または複素数のゲノム信号として表現されるDNA配列間の類似性を記述するためにも適用できる」関数である。^{[1] [2]}

空でない、コンパクトで有限な距離空間のみを考える。そのような空間に対して、上のボレル確率測度の空間を と表す。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \delta :X\rightarrow P(X)}$

点測度に関連付けられた埋め込み。における測度の台は、測度 1 の 最小の閉部分集合です。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \delta_{x}}$${\displaystyle |\mu |}$${\displaystyle P(X)}$

ボレル可測なら ば誘導写像 ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X_{2}}$

${\displaystyle f_{*}:P(X_{1})\rightarrow P(X_{2})}$

によって定義された 尺度に関連付けられます${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f_{*}(\mu )}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu (f^{-1}(B))}$

内のすべてのボレルについて。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle X_{2}}$

ハッチンソン計量は次のように与えられる 。

${\displaystyle d(\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\lbrace \int u(x)\,\mu _{1}(dx)-\int u(x)\,\mu _{2}(dx)\right\rbrace }$

ここで、はリプシッツ定数を持つすべての実数値関数に対して取られる。${\displaystyle \sup}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \leq \!1.}$

すると はの への等長埋め込みとなり、 がリプシッツであれば は同じリプシッツ定数を持つリプシッツとなる。^[3]${\displaystyle \delta}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X_{2}}$${\displaystyle f_{*}:P(X_{1})\rightarrow P(X_{2})}$

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