フルヴィッツの定理（複素解析）

数学、特に複素解析の分野において、 フルヴィッツの定理は、一連の正則でコンパクトな局所一様収束関数の零点を、それに対応する極限の零点と関連付ける定理である。この定理はアドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられている。

{ f _k } を連結開集合 G上の正則関数の列とし、この関数がGのコンパクト部分集合上で一様に収束してG上で常に零ではない正則関数fになるものとする。f がz ₀でm次の零点を持つ場合、十分に小さいρ  > 0 および十分に大きいk  ∈  N ( ρに依存 ) に対して、 f _{k は}重複度を含めて| z  −  z ₀ | <  ρで定義される円板上に正確にm 個の零点を持つ。さらに、これらの零点はk  → ∞のときに z ₀に収束する。 ^[1]

この定理は、結果が任意の円板に対して成立することを保証するものではない。実際、f が境界上にゼロを持つような円板を選択した場合、定理は成立しない。明示的な例として、単位円板 Dと、

${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}},\qquad z\in \mathbb {C} }$

これはf ( z ) =  z − 1に一様収束します。 関数f ( z ) はD内に零点を含みません。ただし、各f _{n は}、実数値 1 − (1/ n )に対応する円内にちょうど 1 つの零点を持ちます。

フルヴィッツの定理はリーマン写像定理[ ^2]の証明に使われており、直接的な帰結として 次の2つの系が導かれる。

• G を連結な開集合とし、{ f _n } をGのコンパクト部分集合上で一様収束して正則関数fになる正則関数の列とします。各f _{n が}Gのどこでもゼロでない場合、f は必ずゼロになるか、どこでもゼロにならないかのいずれかです。
• { f _n } が連結な開集合G上の一価関数の列であり、 Gのコンパクト部分集合上で一様収束して正則関数fになる場合、fは一価か定数のいずれかである。^[2]

f を、z ₀にm次の零点を持つ複素平面の開部分集合上の解析関数とし、{ f _n } はfへのコンパクト部分集合上で一様収束する関数の列であるとする。0 < | z  −  z ₀ | ≤ ρにおいてf ( z ) ≠ 0 となるようなρ > 0 を固定する。円 | z  −  z ₀ | =  ρ上のzに対して| f ( z )| >  δとなるような δ を選択する。f _k ( z ) は選択した円板上で一様収束するので、任意のk  ≥  Nおよび円上の任意のzに対して| f _k ( z )| ≥  δ /2となるNを見つけることができ、円 | z  −  z ₀ | =  ρ上のすべてのzに対して商f _k ′( z )/ f _k ( z ) が明確に定義されることが保証される。ワイエルシュトラスの定理により、円板上で一様に なり、したがって別の一様収束が得られます。${\displaystyle f_{k}'\to f'}$

${\displaystyle {\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}。}$

円板上のf _k ( z )の零点の数をN _kとすると、議論原理を適用して次式 を求めることができる。

${\displaystyle m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z )}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\フラク{f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}}$

上記のステップでは、被積分関数の一様収束により、積分と極限を交換することができました。k  → ∞のとき、 N _k  →  mとなることを示しました。 N _kは整数値なので、kが十分に大きい場合 、 N _{k は}m に等しくなければなりません。^[1]

• ルーシェの定理

• アルフォース、ラース V. (1966)、「複素解析。1 複素変数の解析関数の理論入門」、国際純粋および応用数学シリーズ (第 2 版)、マグロウヒル
• アルフォース、ラース V. (1978)、「複素解析。複素変数 1 個の解析関数の理論入門」、国際純粋・応用数学シリーズ (第 3 版)、McGraw-Hill、ISBN 0070006571
• John B. Conway . 1つの複素変数の関数I. Springer-Verlag、ニューヨーク、ニューヨーク、1978年。
• EC ティッチマーシュ『関数理論』第2版（オックスフォード大学出版局、1939年、1985年再版）、119ページ。
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「Hurwitz の定理」、数学百科事典、EMS プレス