ヘルムスレーの定理

幾何学において、ヨハネス・イェルムスレーヴにちなんで名付けられたイェルムスレーヴの定理は、直線上の点 P、Q、R... が同じ平面上の別の直線の点 P´、Q´、R´... に等角投影される場合、線分 PP´、QQ´、RR´... の中点もまた直線上にあるという主張です。

平面等長変換の分類を前提とすれば、証明は簡単です。与えられた等長変換が奇数の場合、それは必然的に直線の反射か滑走反射（直線の 3 つの反射とそれに対する 2 つの垂線の積）のいずれかであり、平面上のどの点についても次の記述が当てはまります。PP´ の中点は、任意の P の（滑走）反射の軸上にあります。等長変換が偶数の場合、それを直線 PQR の反射と合成して、P、Q、R などに同じ効果を持つ奇数等長変換を取得し、前の説明を適用します。

この定理の重要性は、平行線公理を前提としない別の証明があり、したがって非ユークリッド幾何学でも有効であるという事実にあります。この定理により、平面上のすべての点 P を線分 P´P´´ の中点に写す写像 (P´ と P´´ は、与えられた中心の周りで与えられた鋭角で回転(どちらの方向でも) した P の像) は、双曲平面全体を円板の内側に 1-1 で写す共線写像であることがわかります。これにより、双曲平面の線形構造の優れた直感的概念が提供されます。実際、これはヘルムスレーヴ変換と呼ばれています。

• マーティン、ジョージ E. (1998)、「幾何学と非ユークリッド平面の基礎」、学部生向け数学テキスト(第 3 版)、Springer-Verlag、p. 384、ISBN 978-0-387-90694-2。

• Jay Warendorff による Hjelmslev の定理、Wolfram Demonstrations Project。
• 結び目を切り取ることからのヘルムスレーの定理