ブレスメトリック

数学において、量子情報幾何学の分野において、ビュレス計量（ドナルド・ビュレスにちなんで名付けられた）^[1]またはヘルストローム計量（カール・W・ヘルストロームにちなんで名付けられた）^[2]は、量子状態を定義する密度行列演算子間の無限小距離を定義する。これはフィッシャー情報計量の量子一般化であり、純粋状態のみに制限した場合はフビニ・スタディ計量^[3]と同一である。

ブレス計量は次のように定義される。

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$

ここで、エルミート1形式演算子は、次のように暗黙的に与えられます。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}$

これは連続リアプノフ方程式の特殊なケースです。

Bures計量の応用例としては、目標誤差が与えられた場合に、2つの異なる状態を区別するための最小の測定回数を計算すること^{[4]や、混合量子状態の}Jeffreys事前 確率密度^[5]の候補として体積要素を使用することなどがあげられる。

ブレス距離は、上で説明した無限小二乗距離の有限バージョンであり、次のように表される。

${\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}$

ここで忠実度関数は次のように定義される^[6]

${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}$

もう一つの関連する関数は、ブレス角、ブレス長、量子角とも呼ばれるブレス弧であり、次のように定義される。

${\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

これは量子状態間の 統計的距離^[7]の尺度である。

両方の密度演算子が対角の場合（つまり、古典的な確率分布である場合）、 および同様に とすると、忠実度は となり、ビュレス長はウッターズ距離になります。ウッターズ距離は、カイ2乗計量の下での確率分布間の測地線距離です。^[8]${\displaystyle \rho_{1}=diag(p_{1},...)}$${\displaystyle \rho_{2}=diag(q_{1},...)}$$${\displaystyle {\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$$ ${\displaystyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}$

で変数変換を行うと、カイ二乗計量は になります。 であるため、点は単位超球面の正の象限上を移動するように制限されます。したがって、測地線は超球面上の大円にすぎず、ウッタースの距離の公式も得られます。 ${\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}}$${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}}$${\displaystyle \sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1}$${\displaystyle x}$

両方の密度演算子が純粋状態 である場合、忠実度は となり、ウッターズ距離の量子版が得られる。 ${\displaystyle \psi,\phi}$${\displaystyle {\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |}$

${\displaystyle \arccos(|\langle \psi |\phi \rangle |)}$^[9 ]

特に、任意の 2 つの直交状態間の直接の Bures 距離は ですが、それらを結ぶ測地線に沿って合計された Bures 距離は です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \pi /2}$

ブレス計量はフィッシャー情報計量の量子版とみなすことができ、座標パラメータの変化の観点から次のように書き直すことができる。

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

これは、とが同じランクである限り成立する。それらが同じランクを持たない場合には、右辺に追加の項がある。^{[10] [11]は}対称対数微分演算子（SLD）であり、 ^[12]から定義される。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho +d\rho }$ ${\displaystyle L_{\mu}}$

${\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu } }}.}$

このようにして、

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

ここで量子フィッシャー計量（テンソル成分）は次のように表される。

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{ 2}}\右].}$

SLDの定義は、量子フィッシャー計量がビューレス計量の4倍であることを意味します。言い換えると、がビューレス計量テンソルの成分であるとすると、 ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

${\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}$

古典的なフィッシャー情報計量の場合と同様に、量子フィッシャー計量を使用して共分散のクラメール・ラオ境界を見つけることができます。

ブレス計量の実際の計算は定義からは明らかではないため、その目的のためにいくつかの公式が開発されている。2x2および3x3システムの場合、ブレス計量の2次形式は次のように計算される^[13]。

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

一般的なシステムでは、ブレス計量は密度行列の固有ベクトルと固有値を用いて次のように表される^{[14] [15]}${\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

積分として、^[16]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}$

あるいはクロネッカー積とベクトル化の観点から見ると、^[17]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}$

ここで、は複素共役、 は共役転置 を表します。この式は可逆な密度行列に当てはまります。非可逆な密度行列の場合、上記の逆行列はムーア・ペンローズ擬似逆行列 に置き換えられます。あるいは、この式は、ある混合状態、つまり可逆な状態に極限を実行して計算することもできます。 ${\displaystyle ^{*}}$${\displaystyle ^{\dagger }}$

2レベルシステムの状態は、3つの変数でパラメータ化できる。

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}$

ここで はパウリ行列のベクトルであり、 はを満たす（3次元）ブロッホベクトルである。このパラメータ化におけるビュール計量の成分は次のように計算できる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}$

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}}$。

ブレス測度は行列式の平方根をとって計算できる。

${\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}$

これを使ってブレス体積を計算すると、

${\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

3レベルシステムの状態は、8つの変数でパラメータ化できる。

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

ここで、8 つのゲルマン行列と、特定の制約を満たす 8 次元ブロッホ ベクトルです。 ${\displaystyle \lambda _{\nu }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}$

• フビニ研究指標
• 量子状態の忠実度
• フィッシャー情報
• フィッシャー情報量

• Uhlmann, A. (1992)。「Bures の計量と幾何学的位相」。Gielerak, R.、Lukierski, J.、Popowicz, Z. (編)。グループと関連トピック。第 1 回 Max Born シンポジウムの議事録。pp. 267–274。doi : 10.1007 / 978-94-011-2801-8_23。ISBN 94-010-5244-1。
• Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). 「混合量子状態集合の Bures 体積」. Journal of Physics A. 36 ( 39): 10083–10100. arXiv : quant-ph/0304041 . Bibcode :2003JPhA...3610083S. doi :10.1088/0305-4470/36/39/308. S2CID  39943897.
• Dittmann, J. (1993). 「有限次元混合状態のリーマン幾何学について」(PDF) . Seminar Sophus Lie . 73 .
• スレーター、ポール B. (1996)。「2 レベル システムの量子フィッシャー-ビュール情報と 3 レベル拡張」。J . Phys. A: Math. Gen. 29 ( 10): L271–L275。doi :10.1088/0305-4470/29/10/008。
• Nielsen, MA; Chuang, IL (2000).量子計算と量子情報. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-63235-8。