ホーキンス・サイモン条件

ホーキンス・サイモン条件とは、デイビッド・ホーキンスとハーバート・A・サイモン^{[ 1 ]}に帰せられる数理経済学の結果であり、需要と供給が等しい投入産出モデルにおける均衡関係を満たす非負の産出ベクトルの存在を保証するものである。より正確には、以下の条件を述べている。${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]}$入力出力システムが

${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =\mathbf {d} }$

解決策があります${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \geq 0}$いかなる場合でも${\displaystyle \mathbf {d} \geq 0}$。 ここ${\displaystyle \mathbf {I} }$は単位行列であり、${\displaystyle \mathbf {A} }$これは、1940年代に経験的に推定したワシリー・レオンチェフにちなんで、入出力行列またはレオンチェフ行列と呼ばれています。 ^{[ 2 ]}これらを合わせると、次のようなシステムを表します。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+d_{i}=x_{i}\quad i=1,2,\ldots ,n}$

どこ${\displaystyle a_{ij}}$は、 j番目の財 1 単位を生産するために使用されるi番目の財の量です。${\displaystyle x_{j}}$はj番目の財の生産量であり、$d_i$は財iの最終需要量です。これをベクトル表記で整理すると、最初の式が得られます。

定義する${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]=\mathbf {B} }$、 どこ${\displaystyle \mathbf {B} =\left[b_{ij}\right]}$は${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle b_{ij}\leq 0,i\neq j}$^{[ 3 ]}すると、ホーキンス・サイモンの定理によれば、次の2つの条件は同値である。

（i）${\displaystyle \mathbf {x} \geq 0}$そのため${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {x} >0}$。

（ii）すべての歴代主任未成年者${\displaystyle \mathbf {B} }$正の値である、つまり

${\displaystyle b_{11}>0,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}}>0,\ldots ,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\dots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{vmatrix}}>0}$

証明については、森島（1964）^{[ 4 ]} 、二階堂（1968）^{[ 3 ]} 、または村田（1977）^{[ 5 ]}を参照のこと。条件（ii）はホーキンス・サイモン条件として知られている。この定理は、フェリックス・ガントマッハーがコテリャンスキー補題と呼んでいるように、デイビッド・コテリャンスキー^{[ 6 ]}によって独立に発見された。^{[ 7 ]}

• 対角優位行列
• ペロン・フロベニウスの定理
• シルベスターの基準

• マッケンジー、ライオネル（1960）。「優勢対角行列と経済理論」。アロー、ケネス・J、カーリン、サミュエル、サップス、パトリック編『社会科学における数学的方法』スタンフォード大学出版局、 47-62頁。OCLC 25792438。  
• 高山明（1985）「フロベニウスの定理、優位対角行列、およびその応用」『数理経済学（第2版） 』 ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、359-409頁。ISBN  978-0-521-31498-5。