ハット記法

記号の上に重ねられる「ハット記号」（サーカムフレックス（ˆ））は、さまざまな用途を持つ数学記号です。

統計学では、サーカムフレックス記号（ˆ）は「ハット」とも呼ばれ、推定値または推定値を表すのに使用されます。 ^{[ 1 ]}例えば、誤差や残差の文脈では、文字の上に「ハット」を付けることで、推定値または推定値を表すことができます。${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$は、 と呼ばれる観測不可能な量の観測可能な推定値（残差）を示します。${\displaystyle \varepsilon }$（統計誤差）

ハット記号が推定値を表す別の例は、単純線形回帰に見られます。${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}$独立変数データの観測値を用いて${\displaystyle x_{i}}$従属変数データ$\displaystyle y_i}}$推定モデルは次の形式である。$\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}$どこ$\displaystyle \sum _{i}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$は、最小二乗法によって最適値を求めることで一般的に最小化されます。${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}$そして${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$観測データについて。

統計学において、ハット行列Hは、応答変数の観測値yを予測値ŷに投影します。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=H\mathbf {y} .}$

スクリュー理論において、ハット演算子は外積演算を表すために用いられる。外積は線形変換であるため、行列として表現できる。ハット演算子はベクトルを受け取り、それに対応する行列に変換する。

$\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} }$

例えば、3次元では、

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-a_{z}&a_{y}\\a_{z}&0&- a_{x}\\-a_{y}&a_{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} .}$

数学において、ノルムベクトル空間における単位ベクトルとは、長さが 1 のベクトル (多くの場合、空間ベクトル) のことである。単位ベクトルは、小文字の文字にサーカムフレックス (または「ハット」) を付けて表されることが多い。${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$（「v-hat」と発音します）。^{[ 2 ] [ 1 ]}これは特に物理学の文脈でよく見られます。

関数のフーリエ変換${\displaystyle f}$伝統的には、${\displaystyle {\hat {f}}}$。

量子力学では、演算子はハット記号で表されます。例えば、時間独立シュレーディンガー方程式を参照してください。ここで、ハミルトニアン演算子は次のように表されます。${\displaystyle {\hat {H}}}$。

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

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