ポール・エーリッヒ

ポール・アーリック（1972年生まれ）は、マサチューセッツ州ボストン近郊に住むギタリスト兼音楽理論家です。彼は、パハラ音律^{[ 1 ] [ 2 ]}と22平均律におけるその十音階^{[ 3 ]}を初めて定義したことを含め、規則的な音律の理論の発展における先駆的な役割で知られています。 彼はイェール大学で物理学の理学士号を取得しています。

エルンスト・テルハルトの影響を受けたヴァン・エックのモデルを改良した彼のハーモニックエントロピーの定義^{[ 4 ]}は、ウィリアム・セサレス^{[ 5 ]}などの音楽理論家から注目を集めている。これは、 2つ以上の音高のセットによって喚起される仮想音高（「欠落した基本音」）の不確実性の尺度として、不協和音の構成要素の1つをモデル化することを意図している。これは、音高を単一の倍音列に当てはめるのがどれほど容易か、あるいは困難かを測定する。たとえば、ほとんどのリスナーは、${\displaystyle {4:5:6:7}}$ハーモニック セブンスコードは、${\displaystyle {\tfrac {1}{4:5:6:7}}}$和音。どちらも、転回形の下では音間の間隔がまったく同じですが、最初の和音は単一の倍音列（下音ではなく上音）に簡単に収まります。倍音列では、ハーモニックセブンスコードの整数ははるかに小さくなります。${\displaystyle {4:5:6:7}}$、その逆数と比​​較して、${\displaystyle {105:120:140:168}}$この理論ではモデル化されていない不協和音の要素には、臨界帯域の粗さや音の文脈（例えば、12平均律のように両方とも同じ大きさに調律できる場合でも、増2度は短3度よりも不協和音である）などがある。

のために${\displaystyle n}$ファーレイ図の番目の反復では、${\displaystyle j}$th 要素、${\displaystyle f_{j}=a_{j}/b_{j}}$そして次に高い要素は：

${\displaystyle {\frac {a_{j}+a_{j+1}}{b_{j}+b_{j+1}}}}$^{[ a ]}

要素と次に小さい要素の中間値を引きます。

${\displaystyle {\frac {a_{j-1}+a_{j}}{b_{j-1}+b_{j}}}}$

ここから調和エントロピーを計算するプロセスは次のとおりです。 (a) 上部の正規（ガウス）ベルカーブと側面のメディアンによって定義される領域を計算します。 (b) それぞれの領域の合計が 1 になるように正規化し、それぞれが確率を表すようにします。 (c) その確率のセットのエントロピーを計算します。 調和エントロピーのモデルの詳細については、外部リンクを参照してください。

• 「ポール・エルリッヒによる音楽理論」、Lumma.org。
• 「中庸の道：純正律と平均律の間」、DKeenan.com。
• 「Xenharmonic Wiki の調和エントロピー」、en.xen.wiki