軌道（制御理論）

数学的制御理論で使用される制御システムの軌道の概念は、群論における軌道の概念の特殊なケースである。^{[1] [2] [3]}

を制御システムとし 、 は 有限次元多様体に属し、 は制御セット に属します。 族 を考え 、 内のすべてのベクトル場が完全であると仮定します。すべてのおよびすべての実数に対して、の時刻におけるの流れによって表されます。 ${\displaystyle {\}{\dot{q}}=f(q,u)}$${\displaystyle \ {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle {\q}}$${\displaystyle \M}$${\displaystyle \u}$${\displaystyle \U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \t}$${\displaystyle \e^{tf}}$${\displaystyle \f}$${\displaystyle \t}$

制御システムの点を通る軌道は、次のように定義される 部分集合である。${\displaystyle {\}{\dot{q}}=f(q,u)}$${\displaystyle q_{0}\in M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$${\displaystyle \M}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}=\{e^{t_{k}f_{k}}\circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.}$

備考

軌道と到達可能集合の違いは、到達可能集合では時間的に前方への動きのみが許可されるのに対し、軌道では前方と後方の両方の動きが許可されることです。特に、族が対称である場合（つまり、の場合のみ）、軌道と到達可能集合は一致します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle -f\in {\mathcal {F}}}$

のすべてのベクトル場が完全であるという仮説は表記を簡素化しますが、省略することもできます。この場合、ベクトル場のフローをそれらのローカルバージョンに置き換える必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

各軌道はの浸漬部分多様体です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$${\displaystyle \M}$

点における軌道の接空間は 、ベクトル によって張られるの線型部分空間です。ここで はによる の押し出しを表し、に属し 、 はおよびの形式の の 微分同相写像です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$${\displaystyle \q}$${\displaystyle \T_{q}M}$${\displaystyle \ P_{*}f(q)}$${\displaystyle \P_{*}f}$${\displaystyle \f}$${\displaystyle \P}$${\displaystyle \f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \P}$${\displaystyle \M}$${\displaystyle e^{t_{k}f_{k}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$

族のすべてのベクトル場が解析的である場合、ベクトル場のリー括弧に関して によって生成されたリー代数の における評価はどこになります。そうでない場合は、包含が真になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \ T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}=\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathrm {嘘} _{q}\,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \q}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}\subset T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}}$

任意の に対して であり、が連結されている場合、各軌道は多様体全体に等しくなります。 ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$${\displaystyle \ q\in M}$${\displaystyle \ M}$${\displaystyle \ M}$

• フロベニウスの定理（微分位相幾何学）

• アグラチェフ、アンドレイ、サチコフ、ユーリ (2004)。「軌道定理とその応用」。幾何学的観点から見た制御理論。ベルリン: シュプリンガー。pp. 63–80。ISBN 3-540-21019-9。