ローソン基準

ローソン基準は、核融合研究で使用される性能指数です。これは、核融合燃料内の核融合反応によって生成されるエネルギーの速度と、環境へのエネルギー損失の速度を比較します。生成速度が損失速度よりも高い場合、システムは正味エネルギーを生成します。そのエネルギーの十分な量が燃料によって捕捉されると、システムは自立的になり、点火されたと言われます。

この概念は、ジョン・D・ローソンが1955年に機密扱いの論文^[1]で初めて開発し、1957年に機密解除されて出版されました^[2]。元々定式化されたローソンの基準は、プラズマ（電子）密度n _eと「エネルギー閉じ込め時間」の積に最低限必要な値を与え、それが正味のエネルギー出力につながります。 ${\displaystyle \tau_{E}}$

その後の分析により、より有用な性能指数は、密度、閉じ込め時間、プラズマ温度Tの三重積であることが示唆されました。三重積にも最低限必要な値があり、「ローソン基準」という名前はこの値を指していそうです。

2021年8月8日、カリフォルニア州のローレンス・リバモア国立研究所の国立点火施設の研究者らは、実験においてローソンの基準を上回る核融合反応の点火に初めて成功したことを確認した。^{[3] [4]}

ローソン基準の中心概念は、高温プラズマを使用するあらゆる核融合発電所のエネルギーバランスを調べることです。これは次の図に示されています。

正味電力 = 効率 × (核融合 − 放射損失 − 伝導損失)

1. 正味電力とは、核融合発電所でプロセスを進めるために内部的に必要とされる電力を超えた余剰電力のことです。
2. 効率とは、デバイスを駆動するために必要なエネルギーの量と、反応からエネルギーをどれだけ効率的に収集できるかということです。
3. 核融合とは、核融合反応によって生成されるエネルギーの速度です。
4. 放射損失とは、光（ X線を含む）がプラズマから放出されるときに失われるエネルギーのことです。
5. 伝導損失とは、粒子がプラズマから離れてエネルギーを持ち去るときに失われるエネルギーです。

ローソンは、核融合炉にはプラズマの温度によって特徴付けられるマクスウェル・ボルツマン分布である個々の粒子エネルギーのガウス曲線を持つ高温プラズマ雲が含まれていると仮定して、核融合率を計算した。その仮定に基づいて、彼は体積核融合方程式を使用して、生成される核融合エネルギーの最初の項を推定した。^[5]

核融合 = 燃料Aの数密度 × 燃料Bの数密度 × 断面積（温度） × 反応あたりのエネルギー

1. 核融合はプラズマによって生成される核融合エネルギーの速度である
2. 数密度は、それぞれの燃料（場合によっては1つの燃料のみ）の単位体積あたりの粒子の密度です。
3. 断面積はプラズマ温度に基づいて核融合イベントの確率を測る尺度である。
4. 反応あたりのエネルギーは、各核融合反応で放出されるエネルギーである。

この式は、通常、正規分布するイオンの集団にわたって平均化されます。結果は、任意の瞬間にプラズマによって生成されるエネルギーの量です。

ローソンは次に次の式を使って放射損失 を推定した^{[5] 。}

${\displaystyle P_{B}=1.4\cdot 10^{-34}\cdot N^{2}\cdot T^{1/2}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$

ここで、Nは雲の数密度、Tは温度です。ローソンは解析において伝導損失を無視しています。実際にはこれはほぼ不可能です。実質的にすべてのシステムは、質量がプラズマから離れてそのエネルギーを運び去ることでエネルギーを失っています。

放射損失と体積核融合率を等しくすることで、ローソンは重水素-三重水素（DT）反応 の核融合の最低温度を推定した。

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

3000万度（2.6 keV）であり、重水素-重水素（DD）反応では

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

1億5000万度（12.9 keV）となる。^{[2] [6]}

閉じ込め時間は、 システムが環境にエネルギーを失う速度を測定します。エネルギー損失速度が速いほど、エネルギー閉じ込め時間は短くなります。これは、エネルギー密度 (単位体積あたりのエネルギー含有量) を電力損失密度(単位体積あたりのエネルギー損失速度) で割った値です。${\displaystyle \tau _{E}}$${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

核融合炉が定常状態で作動するには、核融合プラズマを一定温度に維持する必要があります。したがって、核融合状態を維持するためには、プラズマがエネルギーを失うのと同じ速度で熱エネルギーを追加する必要があります。このエネルギーは、反応の種類に応じて核融合反応自体によって供給されるか、さまざまな方法で追加の加熱を供給することによって供給されます。

ここでは、説明のためにDT反応のローソン基準を導出しますが、同じ原理を他の核融合燃料にも適用できます。また、すべての種の温度が同じであること、燃料イオン以外のイオンが存在しない（不純物やヘリウム灰がない）、DとTが最適な50-50の混合物で存在することを前提とします。a^{イオン密度は電子密度に等しく、電子とイオンを合わせたエネルギー密度は、}理想気体の法則に従って、次のように 表されます。

${\displaystyle W=3nT}$

ここで、は電子ボルト（eV）単位の温度、は粒子密度です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$

核融合反応の体積率 （体積当たりの時間当たりの反応数）は ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

ここで、は核融合断面積、は相対速度、 は温度 におけるマクスウェル速度分布の平均を表します。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \langle \rangle }$${\displaystyle T}$

核融合による加熱の体積率は、荷電核融合生成物のエネルギー の倍です(中性子はプラズマの加熱には役立ちません)。DT 反応の場合、 です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$

ローソン基準では、核融合加熱が損失を上回ることが求められます。

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

既知の量を代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

方程式を変形すると次のようになります。

量は絶対最小値を持つ温度の関数です。関数をその最小値に置き換えると、積の絶対下限が得られます。これがローソン基準です。 ${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$${\displaystyle n\tau _{E}}$

重水素-三重水素反応の場合、物理的値は少なくとも

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

積の最小値は の近くで発生します。 ${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$

さらに有用な性能指数は、密度、温度、閉じ込め時間の「三重積」nTτ _Eです。慣性閉じ込め、ミラー閉じ込め、トロイダル閉じ込めなど、ほとんどの閉じ込め概念では、密度と温度はかなり広い範囲で変化しますが、達成可能な最大圧力pは一定です。このような場合、核融合出力密度はp ² <σ v >/ T  ²に比例します。したがって、特定のマシンから得られる核融合出力の最大値は、 <σ v >/ T  ²が最大となる温度Tで得られます。上記の導出を続けると、次の不等式が容易に得られます。

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

この量は温度の関数でもあり、 よりわずかに低い温度で絶対最小値を示します。 ${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$

DT反応では、T  = 14 keVで最小値が発生します。この温度領域での平均<σ v >は次のように近似できます^[7]

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

したがって、 T = 14 keVでの三重積値の最小値は 約

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

この数値はまだどの原子炉でも達成されていないが、最新世代の機械はそれに近い数値に達している。JT -60は1.53x10 ²¹ keV.sm ⁻³を報告した。^[8]例えば、TFTRは、作り出せる温度でローソンを達成するのに必要な密度とエネルギー寿命を達成しているが、同時にそれらの温度を作り出すことはできない。ITERは両方を達成することを目指している。

トカマクに関しては、三重積を使用する特別な動機がある。経験的に、エネルギー閉じ込め時間 τ _{E は}n ^1/3 / P  ^2/3にほぼ比例することがわかっている^{[引用が必要]}。最適温度付近の点火プラズマでは、加熱電力P は核融合電力に等しく、したがってn ² T  ²に比例する。三重積は次のようにスケーリングされる。

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

三重積はT  ^-1/3のように温度にほとんど依存しません。このため、三重積は閉じ込め方式の効率を測る適切な指標となります。

ローソンの基準は慣性閉じ込め核融合（ICF）にも磁気閉じ込め核融合（MCF）にも適用されますが、慣性の場合は別の形式で表現した方が便利です。慣性閉じ込め時間の良い近似値は、イオンが熱速度で距離Rを移動するのにかかる時間です。${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

ここで、m _{i は}平均イオン質量を表す。慣性閉じ込め時間は次のように近似できる。 ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

上の式を関係式（１）に代入すると、

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

この積は、 T  ^3/2 /<σv>の最小値に関連する値よりも大きくなければなりません。同じ要件は、伝統的に質量密度ρ  = < nm _i >で表現されます。

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

固体 DT の密度 (0.2 g/cm ³ ) でこの基準を満たすには、信じられないほど大きなエネルギーのレーザーパルスが必要になります。必要なエネルギーが核融合プラズマの質量に比例すると仮定すると ( E _laser ~ ρR ³ ~ ρ ⁻² )、燃料を固体密度の 10 ³または 10 ⁴倍に圧縮すると、必要なエネルギーは 10 ⁶または 10 ⁸倍に減少し、現実的な範囲になります。10 ^{3の圧縮では、圧縮密度は 200 g/cm 3}になり、圧縮半径は 0.05 mm ほど小さくなります。圧縮前の燃料の半径は 0.5 mm です。圧縮中に 質量の大部分が除去されるため、初期のペレットはおそらく 2 倍の大きさになります。

核融合出力と密度の積は、磁気閉じ込めの最適温度を決定するのに適した性能指数ですが、慣性閉じ込めの場合は、燃料の燃焼率の方がおそらくより有用です。燃焼率は、特定の反応速度 ( n ² < σv >) と閉じ込め時間 ( T  ^{-1/2に比例) を乗じて粒子密度}nで割った値に比例します。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

したがって、慣性閉じ込め核融合の最適温度は <σv>/ T ^3/2を最大化し、これは磁気閉じ込めの最適温度よりもわずかに高くなります。

ローソンの分析は、熱化プラズマにおける核融合の速度とエネルギー損失に基づいています。熱化プラズマを使用せず、代わりに個々のイオンを必要なエネルギーまで直接加速するタイプの核融合装置があります。最もよく知られている例は、ミグマ、フューザー、ポリウェルです。

ローソンの分析をフューザーに適用すると、伝導と放射による損失が正味電力の達成を妨げる主な要因であるという議論に使用されます。フューザーは電圧降下を利用してイオンを加速して衝突させ、核融合を起こします。^[9]電圧降下はワイヤーケージによって生成され、これらのケージは粒子を伝導します。

ポリウェルはこの設計を改良したもので、伝導損失の原因となるワイヤーケージを取り除くことで伝導損失を減らすように設計されています。^[10]とはいえ、放射線は依然として大きな障害であると主張されています。^[11]

• 核融合エネルギー増加係数（Q）

^a これらの仮定を緩めるのは簡単です。最も難しい問題は、イオンと電子の密度と温度が異なる場合をどのように定義するかです。これはイオンによるエネルギーの生成と損失の計算であり、プラズマの閉じ込めの概念にはプラズマの圧力力が含まれていなければならないことを考慮すると、（全）圧力によるを と。 の係数が含まれているのは、 は通常は電子の密度のみを指しますが、ここでは全圧力を指すためです。 イオン密度、原子番号、イオン温度、電子温度、 で与えられる燃料混合物によって核融合出力が最大化されることは簡単に示せます、、および出力密度の値には。たとえば、燃料として陽子とホウ素（ ）を使用する場合、 という別の係数を式に含める必要があります。一方、冷たい電子の場合、式はすべて で割る必要があります（ の追加係数はありません）。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n_{1,2}}$${\displaystyle Z_{1,2}}$${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$${\displaystyle n\tau }$${\displaystyle nT\tau }$${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$${\displaystyle Z=5}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle Z>1}$

• 数学的導出、2019年にオリジナルからアーカイブ