閉ループポール

システム理論では、閉ループ極は、s 平面における閉ループ伝達関数の極(または固有値)の位置です。開ループ伝達関数は、ブロック図の順方向パスにあるすべての伝達関数ブロックの積に等しくなります。閉ループ伝達関数は、開ループ伝達関数を、負帰還ループ全体のすべての伝達関数ブロックの積と 1 の合計で割ることで得られます。閉ループ伝達関数は、代数操作またはブロック図の操作によっても得られます。システムの閉ループ伝達関数が得られたら、特性方程式を解いて閉ループ極を取得します。特性方程式は、閉ループ伝達関数の分母を 0 に設定することに他なりません。

制御理論では、フィードバック システムを解析する主な方法が 2 つあります。伝達関数(または周波数領域) 法と状態空間法です。伝達関数法を使用する場合、s 平面で伝達関数が定義されていない場所(極) またはゼロ (零点。零点と極 を参照) に注目します。設計者は 2 つの異なる伝達関数に注目します。システム内のフィードバック ループが開いている (つまり動作が妨げられている)場合は開ループ伝達関数と呼び、フィードバック ループが正常に動作している場合は閉ループ伝達関数と呼びます。この 2 つの関係の詳細については、根軌跡を参照してください。

線形時間不変システムの任意の入力に対する応答は、インパルス応答とステップ応答から導き出すことができます。システムの固有値によって、自然応答(非強制応答) が完全に決定されます。制御理論では、任意の入力に対する応答は、過渡応答と定常応答の組み合わせです。したがって、重要な設計パラメータは、固有値、つまり閉ループ極の位置です。

根軌跡設計では、ゲイン K は通常パラメータ化されます。軌跡上の各点は角度条件と大きさ条件を満たし、 Kの異なる値に対応します 。負帰還システムの場合、ゲインが増加すると、閉ループ極は根軌跡に沿って開ループ極から開ループ零点まで移動します。このため、根軌跡は比例制御の設計、つまり の設計によく使用されます。 ${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}=K}$

コントローラ、プラント、およびフィードバックパスの伝達関数を持つ単純なフィードバックシステムを考えてみましょう。単位フィードバックシステムには があり、ブロックは省略されていることに注意してください。このシステムでは、開ループ伝達関数は、順方向パスのブロックの積です。閉ループ全体のブロックの積は です。したがって、閉ループ伝達関数は次 のようになります。${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}=K}$ ${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$${\displaystyle {\textbf {H}}(s)}$${\displaystyle {\textbf {H}}(s)=1}$${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}=K{\textbf {G}}}$${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}{\textbf {H}}=K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}$

${\displaystyle {\textbf {T}}(s)={\frac {K{\textbf {G}}}{1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}}.}$

閉ループ極、つまり固有値は、特性方程式を解くことによって得られます。一般に、解は n 個の複素数になります。ここで、n は特性多項式の次数です。 ${\displaystyle {1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}=0}$

上記は、単入力単出力システム（SISO）に有効です。多入力多出力システム、つまり、要素が伝達関数で構成されている行列であるシステムに対して拡張が可能です。この場合、極は方程式の解です。 ${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$${\displaystyle {\textbf {K}}(s)}$

${\displaystyle \det({\textbf {I}}+{\textbf {G}}(s){\textbf {K}}(s))=0.\,}$