フライリングの対称性公理

フライリングの対称性公理 ( )は、${\displaystyle {\texttt {AX}}}$クリス・フライリングが提唱した集合論的な公理です。これはスチュアート・デイビッドソンの直観に基づいていますが、その背後にある数学はヴァツワフ・シェルピンスキにまで遡ります。

から の可算な部分集合へのすべての関数の集合を とします。(言い換えると、です。) 公理は次のように述べています。 ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {P}}([0,1])^{[0,1]}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle A={\big [}[0,1]{\big ]}^{\leq \omega }}$${\displaystyle {\texttt {AX}}}$

任意の に対して、および となる が存在する。${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle x,y\in [0,1]}$${\displaystyle x\not \in f(y)}$${\displaystyle y\not \in f(x)}$

シェルピンスキーの定理によれば、ZFC 集合論の仮定の下では、連続体仮説(CH)の否定に等しい。シェルピンスキーの定理はヒューゴ・シュタインハウスの疑問に答えるものであり、CH の独立性がクルト・ゲーデルとポール・コーエンによって確立されるよりずっと前に証明された 。 ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$

フライリングは、確率的直観はこの命題を強く支持しているが、反対する人もいると主張している。この公理にはいくつかのバージョンがあり、そのうちのいくつかを以下で説明する。

Aの関数fを固定します。単位間隔で 2 本のダーツを投げる思考実験を考えてみましょう。命中した数値xとyの実際の値を物理的に無限の精度で決定することはできません。同様に、「 yがf ( x )に含まれるかどうか」という質問は、実際には物理的に計算できません。ただし、f が実際に関数である場合、この質問は意味のあるものであり、明確な「はい」または「いいえ」の答えが得られます。

ここで、最初のダーツxが投げられるまで待ってから、2 番目のダーツy がf ( x )に含まれる可能性を評価します。x が固定されているため、f ( x ) は固定された可算集合であり、ルベーグ測度は0 です。したがって、xが固定されているこのイベントの確率は 0 です。ここで、Freiling は 2 つの一般化を行います。

• 最初のダーツが投げられた後、「 y はf ( x )に含まれない」とほぼ確実に予測でき、この予測は最初のダーツが何をするかに関係なく有効であるため、最初のダーツが投げられる前にこの予測を行うことができるはずです。これは、まだ測定可能なイベントがあるという意味ではなく、予測可能であることの本質に関する直感です。
• 「yはf ( x )に含まれない」は予測どおりに真なので、ダーツが投げられた順序の対称性（したがって「対称性の公理」と呼ばれます）により、「 x はf ( y )に含まれない」こともほぼ確実に予測できるはずです。

この公理は、この実験が実行されるたびに予測どおりに起こることは、少なくとも可能であるべきであるという原則に基づいて正当化されます。したがって、xがf ( y )に含まれず、 y がf ( x ) に含まれない2 つの実数x、y が存在するはずです。${\displaystyle {\texttt {AX}}}$

無限基数 (例)を固定します。を次のステートメントとします:または となるようなサイズの集合から の集合への写像は存在しません。${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \aleph_{0}\,}$${\displaystyle {\texttt {AX}}_{\kappa }.\,}$${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(\kappa )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\kappa ))\,}$${\displaystyle \leq \kappa }$${\displaystyle (\forall {x,y\in {\mathcal {P}}(\kappa )})\,}$${\displaystyle x\in f(y)\,}$${\displaystyle y\in f(x)\,}$

請求： 。 ${\displaystyle {\texttt {ZFC}}\vdash 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }\,}$

証明： パートI（）： ${\displaystyle \Rightarrow \,}$

と仮定します。すると、一対一 が存在します。を介して定義されると、これが Freiling の公理の失敗を示していることは容易にわかります。 ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,}$${\displaystyle \sigma :\kappa ^{+}\to {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(\kappa )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\kappa ))\,}$${\displaystyle \sigma (\alpha )\mapsto \{\sigma (\beta ):\beta \preceq \alpha \}\,}$

パートII（）： ${\displaystyle \Leftarrow \,}$

フライリングの公理が成り立たないと仮定します。次に、この事実を検証するためにいくつかを修正します。上の順序関係をによって定義する場合、その場合に限られます。この関係は完全であり、すべての点には多くの先行点があります。次に、次のように厳密に増加する連鎖を定義します。各段階で を選択します。このプロセスは、すべての順序数 に対して、 はサイズ の多くの集合の和集合であるため実行できます。したがって はサイズであり、したがって は の厳密な部分集合です。また、このシーケンスは定義された順序で共終的であることもわかります。つまり、のすべてのメンバーは のいずれかです。(が でない場合、 は完全であるため、 には多くの先行点があり、矛盾が生じます。) したがって、によってマップを適切に定義できます。 ${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$${\displaystyle A\leq _{f}B}$${\displaystyle A\in f(B)}$${\displaystyle \leq \kappa }$${\displaystyle (A_{\alpha }\in {\mathcal {P}}(\kappa ))_{\alpha <\kappa ^{+}}}$${\displaystyle A_{\alpha }\in {\mathcal {P}}(\kappa )\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })}$${\displaystyle \alpha <\kappa ^{+}\,}$${\displaystyle \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })\,}$${\displaystyle \leq \kappa \,}$${\displaystyle \leq \kappa \,}$${\displaystyle \leq \kappa <2^{\kappa }\,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$${\displaystyle \leq _{f}\,}$${\displaystyle A_{\alpha }\,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$${\displaystyle \leq _{f}\,}$${\displaystyle A_{\alpha}}$${\displaystyle (\forall {\alpha <\kappa ^{+}})A_{\alpha }\leq _{f}B\,}$${\displaystyle B\,}$${\displaystyle \geq \kappa ^{+}>\kappa \,}$${\displaystyle g:{\mathcal {P}}(\kappa )\to \kappa ^{+}\,}$${\displaystyle B\mapsto \operatorname {min} \{\alpha <\kappa ^{+}:B\in f(A_{\alpha })\}}$

したがって、これはサイズがそれぞれである多数の集合の和集合です。したがって、 です。${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}g^{-1}\{\alpha \}=\bigcup _{\alpha <\カッパ ^{+}}f(A_{\alpha })\,}$${\displaystyle \kappa ^{+}\,}$${\displaystyle \leq \kappa \,}$${\displaystyle 2^{\kappa }\leq \kappa ^{+}\cdot \kappa =\kappa ^{+}\,}$

このように簡単に並べ替えて、Freiling の公理の上記の形式 を得ることができることに注意してください。${\displaystyle |[0,1]|=|{\mathcal {P}}(\aleph _{0})|\,}$${\displaystyle \neg {\texttt {CH}}\Leftrightarrow \,}$

上記はより正確に記述することができます。これは、連続体仮説が選択とは独立しているという事実と合わせて、（一般化された）連続体仮説が選択公理の拡張である正確な方法を示しています。 ${\displaystyle {\texttt {ZF}}\vdash ({\texttt {AC}}_{{\mathcal {P}}(\kappa )}+\neg {\texttt {AX}}_{\kappa }) \leftrightarrow {\texttt {CH}}_{\kappa }\,}$

フライリングの議論は、以下の 2 つの問題 (フライリング自身も十分に認識しており、論文でも論じている) のため、広く受け入れられていません。

• フライリングが用いた素朴な確率的直観は、実数の任意の部分集合に確率を関連付ける適切な方法があることを暗黙のうちに想定しています。しかし、確率の概念の数学的形式化では測度の概念が使用され、選択公理は単位区間の非測定部分集合の存在さえも暗示しています。この例としては、 バナッハ・タルスキーのパラドックスやヴィタリ集合の存在が挙げられます。
• 彼の議論の小さなバリエーションは、連続体仮説を受け入れるか否かに関わらず、連続体より小さい基数の加法性で確率の可算な加法性を置き換えると、選択公理と矛盾する。(フライリングは同様の議論を使ってマーティンの公理は誤りであると主張した。) フライリングの直観が、この例では、たとえ当てはまるとしても、なぜ当てはまらないのかは明らかではない。(マディ 1988、p. 500) そのため、フライリングの議論は、連続体仮説に反する議論というよりは、実数をうまく順序付ける可能性に反する議論であるように思われる。

ZFC では (上記参照) という事実を利用すると、対称性の公理の失敗(つまり の成功 ) が、グラフの次の組み合わせ原理と同等であること が容易にわかります。${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\Leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }\,}$${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,}$

• 上の完全グラフは、各ノードが最大で- 個のノードにつながるように有向化できます。${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )\,}$${\displaystyle \kappa \,}$

の場合、これは次のように変換されます。 ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}\,}$

• 単位円（または実数と同じサイズの任意の集合）上の完全なグラフは、すべてのノードが最大で可算数のノードへのパスを持つように方向付けることができます。

したがって、ZFC のコンテキストでは、フライリング公理の失敗は、特定の種類の選択関数の存在と同等です。