Forouhi–Bloomerモデル

Forouhi –Bloomer モデルは、複素数値の屈折率の周波数依存性を表す数式です。このモデルは、非晶質および結晶質の半導体および誘電体材料の屈折率を、その光学的バンドギャップに近い、またはそれを超えるエネルギーでフィッティングするために使用できます。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}分散関係は、モデルを作成し、そのパラメータの物理的意味を解釈した Rahim Forouhi と Iris Bloomer の名前が付けられています。^{[ 1 ] [ 7 ]}このモデルは、不正確な漸近挙動と非エルミート性のため、物理的に不完全です。これらの欠点により、モデルの修正版^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}やTauc–Lorentz モデルの開発が促されました。

複素屈折率は次式で与えられる。

${\displaystyle {\チルダ {n}}(E)=n(E)+i\kappa (E)}$

どこ

• ${\displaystyle n}$は複素屈折率の実数成分であり、一般に屈折率と呼ばれます。
• ${\displaystyle \kappa }$は複素屈折率の虚数成分であり、一般に消衰係数と呼ばれる。
• ${\displaystyle E}$は光子エネルギー（角周波数と関係がある）${\displaystyle E=\hbar \omega }$)

屈折率の実数部と虚数部は、クラマース・クローニッヒの関係式によって互いに関連付けられています。ForouhiとBloomerは、次の式を導出しました。${\displaystyle \kappa (E)}$非晶質材料の場合。式と相補的なクラマース・クローニッヒ積分は^{[ 1 ]で与えられます。}

${\displaystyle \kappa (E)={\frac {A\left(E-E_{g}\right)^{2}}{E^{2}-BE+C}}}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\kappa (\xi )-\kappa _{\infty }}{\xi -E}}d\xi }$

どこ

• ${\displaystyle E_{g}}$は材料のバンドギャップであり、
• ${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、 そして${\displaystyle n_{\infty }}$は適合パラメータであり、
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$はコーシー主値を表す。
• ${\displaystyle \kappa _{\infty }=\lim _{E\rightarrow \infty }\kappa (E)=A}$。

${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle C}$制約を受ける${\displaystyle A>0}$、${\displaystyle B>0}$、${\displaystyle C>0}$、 そして${\displaystyle 4C-B^{2}>0}$クラマース・クローニッヒ積分を評価すると、

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+{\frac {B_{0}E+C_{0}}{E^{2}-BE+C}}}$

どこ

• ${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}{\sqrt {4C-B^{2}}}}$、
• ${\displaystyle B_{0}={\frac {A}{Q}}\left(-{\frac {1}{2}}B^{2}+E_{g}B-E_{g}^{2}+C\right)}$、
• ${\displaystyle C_{0}={\frac {A}{Q}}\left({\frac {1}{2}}B\left(E_{g}^{2}+C\right)-2E_{g}C\right)}$。

結晶性材料に対するForouhi–Bloomerモデルは、非晶質材料のモデルと類似している。${\displaystyle n(E)}$そして${\displaystyle \kappa (E)}$^{[ 7 ]}で与えられる

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+\sum _{j}{\frac {B_{0,j}E+C_{0,j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}}$。

${\displaystyle \kappa (E)=\left(E-E_{g}\right)^{2}\sum _{j}{\frac {A_{j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}}$。

すべての変数は非晶質の場合と同様に定義されますが、合計インデックスの各値に対して固有の値を持ちます。${\displaystyle j}$したがって、非晶質材料のモデルは、和が単一の項のみに関する場合の結晶性材料のモデルの特殊なケースである。

• コーシー方程式
• セルマイヤー方程式
• ローレンツ発振器モデル
• タウク・ローレンツモデル
• ブレンデル・ボルマン振動子モデル