流体キュー

確率論の数学理論における分野である待ち行列理論では、流体待ち行列（流体モデル^{[ 1 ]}、流体流れモデル^{[ 2 ]}、または確率流体モデル^{[ 3 ]}）は、ランダムに決定された充填と排出の期間の影響を受ける貯水槽内の流体レベルを記述するために使用される数学モデルです。以前の文献では、これらのモデルに対してダム理論という用語が使用されていました。このモデルは、離散モデルの近似、山火事の広がりのモデル化^{[ 4 ]}、廃墟理論^{[ 5 ]} 、および高速データネットワークのモデル化^{[ 6 ]}に使用されています。このモデルは、確率的ソースにリーキーバケットアルゴリズムを適用します。

このモデルは、1954 年にPat Moranによって初めて導入され、離散時間モデルが検討されました。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}流動キューでは、M/M/1やM/G/1 キューのようなモデルのように、到着が離散的ではなく連続的になります。

流体キューは、ネットワークスイッチ^{[ 10 ]}、ルータ^{[ 11 ]} 、 IEEE 802.11プロトコル^{[ 12 ]}、非同期転送モード（ B-ISDNの想定技術）^{[ 13 ] [ 14 ]} 、ピアツーピアファイル共有^{[ 15 ]}、光バーストスイッチング[16]のパフォーマンスをモデル^{化するために使用されており、ダムの設計における土木工学にも応用されている[17]}。このプロセス^は、効率的な解法が知られている^準誕生死プロセスと密接に関連している^{[ 18 ] [ 19 ] 。}

流体キューは、通常無限の容量を持つと想定される大きなタンクと、タンクに流体を注ぎ込む一連のパイプ、およびタンクから流体を取り出す一連のポンプとで構成されていると考えることができます。オペレーターはパイプとポンプを制御し、バッファに流体が注ぎ込まれる速度と流体が排出される速度を制御します。オペレーターがシステムを状態iにすると、この状態における正味の流体到着率 (入力から出力を引いた値) をr _iとします。バッファに流体が含まれている場合、時刻tにおける流体レベルをX ( t ) とすると、^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X(t)}{\mathrm {d} t}}={\begin{cases}r_{i}&{\text{ if }}X(t)>0\\\max(r_{i},0)&{\text{ if }}X(t)=0.\end{cases}}}$

演算子は連続時間マルコフ連鎖であり、通常は環境プロセス、バックグラウンドプロセス^{[ 21 ]}、または駆動プロセス^{[ 6 ]}と呼ばれます。プロセスXはバッファ内の流体レベルを表すため、非負の値しか取ることができません。

このモデルは、区分的決定論的マルコフ過程の特定タイプであり、境界条件付きマルコフ報酬モデルとみなすこともできる。

定常分布は、Asmussen ^{[ 22 ]}によって最初に示されたように位相型分布^{[ 2 ]}であり、行列解析法を使用して計算できます。^{[ 10 ]}

加法分解法は数値的に安定しており、シューア分解を用いた計算に必要な固有値を分離します。^{[ 23 ] [ 24 ]}

ビジー期間とは、流体が最初にバッファに到着した瞬間（X（t）がゼロ以外になる瞬間）からバッファが再び空になる瞬間（X（t）がゼロに戻る瞬間）までの時間のことです。以前の文献では、これを（ダムの）湿潤期間と呼ぶこともありました。^{[ 26 ]}ビジー期間分布のラプラス・スティルチェス変換は、無限バッファを持つ流体待ち行列の場合^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}と、有限バッファで到着が瞬間ジャンプである場合の期待ビジー期間について知られています。^{[ 26 ]}

一定のサービス率μと到着率λおよび0を持つ無限バッファの場合、パラメータを持つ連続時間マルコフ連鎖によって変調されます。

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\\beta &-\beta \end{pmatrix}}}$

ビジー期間分布のラプラス・スティルチェス変換をW *( s ) と書き、次に^{[ 29 ]}

${\displaystyle W^{\ast }(s)={\frac {\beta \lambda +s\lambda -\beta \mu +\alpha \mu -{\sqrt {4\beta \alpha \mu (\mu -\lambda )+(s\lambda +\beta (\lambda -\mu )+\alpha \mu )^{2}}}}{2\beta (\lambda -\mu )}}}$

これにより平均混雑期間が算出される^{[ 30 ]}

${\displaystyle \mathbb {E} (W)={\frac {\lambda }{\alpha \mu +\beta (\lambda -\mu )}}$

この場合、単一のオン/オフソースでは、ビジー期間の分布は減少故障率関数であることが知られており、これはビジー期間が長く続くほど、さらに長く続く可能性が高いことを意味します。^{[ 31 ]}

一般的に、ビジー期間を求めるには、スペクトル分解法または反復再帰法のいずれかを使用する2つの主要なアプローチがあります。^{[ 32 ]}変換の点を計算するための2次収束 アルゴリズムは、AhnとRamaswamiによって発表されました。^{[ 33 ]}

2 つのタンデム流体キューの定常分布が計算され、非自明なケースでは積形式の定常分布を示さないことが示されています。^{[ 25 ] [ 30 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

フィードバック流体キューは、モデルパラメータ（遷移率行列とドリフトベクトル）がバッファの内容にある程度依存することを許容するモデルです。通常、バッファの内容は分割され、パラメータはバッファの内容プロセスがどのパーティションにあるかに依存します。^{[ 40 ]}順序付きシュール分解を使用すると、このようなモデルの定常分布を効率的に計算できます。^{[ 41 ]}

二次流体キュー（マルコフ変調拡散過程またはブラウンノイズ付き流体キュー^{[ 42 ]}と呼ばれることもある）は、マルコフ過程によって制御されるパラメータを持つ反射ブラウン運動を考慮する。 ^{[ 22 ] [ 43 ]}一般的に、吸収と反射の2種類の境界条件が考慮される。^{[ 44 ]}

• BuToolsは、上記の結果の一部をMATLAB、Python 、およびMathematicaで実装したものです。
• PevaTools、マルチレジームモデル用のMATLABコード
• MAM8のV. Ramaswamiによる流体流れモデルチュートリアル