5量子ビット誤り訂正符号

5量子ビット誤り訂正符号は、任意の単一量子ビット誤りから論理量子ビットを保護できる最小の量子誤り訂正符号である。 ^[1]この符号では、5つの物理量子ビットを使用して論理量子ビットをエンコードする。^[2]および はパウリ行列、単位行列であるため、この符号の生成元はである。論理演算子はおよび で ある。^[3] 論理量子ビットがエンコードされると、安定器測定によって物理量子ビットの誤りを検出できる。安定器測定の結果を誤りの種類と場所にマッピングするルックアップテーブルにより、量子コンピュータの制御システムは誤りを訂正するのに十分な情報を得ることができる。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \langle XZZZI,IXZZX,XIXZZ,ZXIXZ\rangle }$${\displaystyle {\bar {X}}=XXXXX}$${\displaystyle {\bar {Z}}=ZZZZZ}$

スタビライザー測定は、物理量子ビットのスタビライザーを測定するパリティ測定です。 ^[5] たとえば、最初のスタビライザー ( ) を測定するには、最初の量子ビット、2番目、3番目、4番目、5番目、のパリティ測定が実行されます。スタビライザーは4つあるため、それらを測定するには4つのアンシラが使用されます。上の画像の最初の4つの量子ビットがアンシラです。アンシラからの結果のビットがシンドロームであり、発生したエラーの種類とその場所をエンコードします。 ${\displaystyle XZZXI}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

論理量子ビットは、パリティ測定を に対して実行することによって計算基底で測定できます。測定された補助量子が の場合、論理量子ビットは です。測定された補助量子が の場合、論理量子ビットは です。^[6]${\displaystyle {\bar {Z}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |1_{\rm {L}}\rangle }$

発生する可能性のあるすべての単一量子ビットエラーとその修正方法を計算することができます。これは、どのエラーが安定化子と交換されるかを計算することによって行われます。^[4]たとえば、最初の量子ビットにエラーがあり、他の量子ビットにエラーがない場合 ( )、最初の安定化子 と交換されます。つまり、最初の量子ビットで X エラーが発生した場合、最初の補助量子ビットは 0 になります。2 番目の補助量子ビットは、3 番目は、4 番目はです。したがって、最初の量子ビットで X エラーが発生した場合、シンドロームは になります。これは、下の表の の右側に示されています。他のすべての可能性のあるエラーについても同様の計算が行われ、表が埋められます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1}=XIIII}$${\displaystyle [XIIII,XZXXI]=0}$${\displaystyle [XIIII,IXZZX]=0}$${\displaystyle [XIIII,XIXZZ]=0}$${\displaystyle [XIIII,ZXIXZ]\neq 0}$${\displaystyle 0001}$${\displaystyle X_{1}}$

エラーを修正するには、シンドロームに基づいて物理量子ビットに対して同じ操作を実行します。シンドロームが の場合、最初の量子ビットにゲートを適用してエラーを反転します。 ${\displaystyle 0001}$${\displaystyle X}$

エラー訂正された量子計算を実行するための最初のステップは、物理的な量子ビットを論理コードワードに変換してコンピュータの初期状態をエンコードすることです。5つの量子ビットコードの論理コードワードは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|00000\rangle +|10010\rangle +|01001\rangle +|10100\rangle +|01010\rangle -|11011\rangle -|00110\rangle -|11000\rangle \\-&|11101\rangle -|00011\rangle -|11110\rangle -|01111\rangle -|10001\rangle -|01100\rangle -|10111\rangle +|00101\rangle ],\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|1_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|11111\rangle +|01101\rangle +|10110\rangle +|01011\rangle +|10101\rangle -|00100\rangle -|11001\rangle -|00111\rangle \\-&|00010\rangle -|11100\rangle -|00001\rangle -|10000\rangle -|01110\rangle -|10011\rangle -|01000\rangle +|11010\rangle ].\end{aligned}}}$

スタビライザ測定に続いて測定を行うことで、論理量子ビットを 5 つの物理量子ビットにエンコードすることができます。^[7]を準備するには、スタビライザ測定を実行し、エラー訂正を適用します。エラー訂正後、論理状態は論理コードワードになることが保証されます。測定の結果が の場合、論理状態は です。結果が の場合、論理状態は であり、 を適用するとに変換されます。 ${\displaystyle {\bar {Z}}}$${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$${\displaystyle {\bar {Z}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |1_{\rm {L}}\rangle }$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$