フェルミ・ウォーカー輸送

フェルミ・ウォーカー輸送は、一般相対性理論において、座標系または基準系を定義する際に用いられるプロセスであり、その座標系におけるすべての曲率は、質量/エネルギー密度の存在によるものであり、座標系の任意のスピンや回転によるものではない。これは1921年にフェルミによって発見され、1932年にウォーカーによって再発見された。^{[ 1 ]}

ローレンツ多様体の理論において、フェルミ・ウォーカー微分は共変微分の一般化である。一般相対性理論では、フレーム場における空間的ベクトル場の、フレーム場における時間的単位ベクトル場に関するフェルミ・ウォーカー微分を用いて、フェルミ・ウォーカー微分がゼロになるという条件を課すことで、非慣性かつ非回転フレームを定義する。慣性フレームの特殊な場合、フェルミ・ウォーカー微分は共変微分に帰着する。

で${\displaystyle (-+++)}$符号規約は、曲線に沿ったベクトル場Xに対して定義されます。$\displaystyle \gamma (s)$:

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right)V+(X,V){\frac {DV}{ds}},}$

ここで、Vは4元速度、Dは共変微分であり、${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$はスカラー積です。

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}$

すると、ベクトル場Xは曲線に沿ってフェルミ・ウォーカー輸送される。^{[ 2 ]}ミンコフスキー時空の4 元速度の空間に垂直なベクトル、例えば偏光ベクトルは、フェルミ・ウォーカー輸送の下でトーマス歳差運動を経験する。

フェルミ微分を用いると、外部電磁場中の電子のスピン歳差運動に関するバーグマン・ミシェル・テレグディ方程式^{[ 3 ]}は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

どこ$\displaystyle a^{\tau }}$そして${\displaystyle \mu }$は分極4ベクトルと磁気モーメントであり、$u^{\tau}}$電子の4つの速度、${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$、${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$、 そして${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$は電磁場強度テンソルです。右辺はラーモア歳差運動を表しています。

粒子と共に移動する座標系を定義できます。単位ベクトルを取ると、${\displaystyle v^{\mu }}$共動座標系で軸を定義すると、固有時間で変換する任意のシステムはフェルミ・ウォーカー輸送を受けていると言われる。^{[ 4 ]}

フェルミ・ウォーカー微分は任意の${\displaystyle V}$どこ${\displaystyle (V,V)\neq 0}$（つまり、光のようなベクトルではない）。これはベクトル場に対して定義される。${\displaystyle X}$曲線に沿って${\displaystyle \gamma (s)}$:

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}+\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {V}{(V,V)}}-{\frac {(X,V)}{(V,V)}}{\frac {DV}{ds}}-\left(V,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {(X,V)}{(V,V)^{2}}}V,}$^{[ 5 ]}

最後の項を除いて、それは新しいものであり、基本的に可能性によって引き起こされます。${\displaystyle (V,V)}$は定数ではないので、前の式を取り、それぞれを割ることによって導出できます。${\displaystyle V^{2}}$による${\displaystyle (V,V)}$。

もし${\displaystyle (V,V)=-1}$すると、フェルミ・ウォーカー微分が再現される。

${\displaystyle \left(V,{\frac {DV}{ds}}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(V,V)=0\ ,}$そして${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {D_{F}X}{ds}}.}$

• 曲がった時空の数学の基礎入門
• エンリコ・フェルミ
• アーサー・ジェフリー・ウォーカー
• ニュートン力学から一般相対性理論への移行

• Bargmann, V. ; Michel, L.; Telegdi, VL (1959). 「均一な電磁場中を運動する粒子の偏光の歳差運動」。Physical Review Letters。2 ( 10 ): 435。Bibcode : 1959PhRvL...2..435B。doi : 10.1103 / PhysRevLett.2.435。。
• ランダウ、LD ；リフシッツ、EM（2002）[1939]。場の古典理論。理論物理学講義。第 2巻（第4 版）。バターワース・ハイネマン。ISBN 0-7506-2768-9。
• ミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ・S.、ウィーラー、ジョン・A. (1973).重力. WHフリーマン. ISBN 0-7167-0344-0。
• ホーキング、スティーブン・W.、エリス、ジョージ・F.R. (1973).時空の大規模構造. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-09906-4。
• Kocharyan, AA (2004). "力学系の幾何学". arXiv : astro-ph/0411595 .