フェンチェルの双対定理

数学において、フェンチェルの双対定理は、ヴェルナー・フェンチェルにちなんで名付けられた凸関数の理論の結果です。

ƒ をR ⁿ上の適切な凸関数とし、g を R n 上の適切な凹関数とする。この^とき、正則性条件が満たされる場合、

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).}$

ここで、ƒ  ^*はƒの凸共役（フェンシェル・ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、 g  _{* は}gの凹共役である。つまり、

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\left\left\left\left\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

XとY をバナッハ空間、を凸関数、を有界線型写像とします。すると、フェンシェル問題は次のように なります。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle A:X\to Y}$

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

は弱い双対性、すなわちを満たします。 はそれぞれf、gの凸共役であり、 は随伴演算子であることに注意してください。この双対問題に対する摂動関数は で与えられます。 ${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$${\displaystyle f^{*},g^{*}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$

f、g、Aが以下のいずれかを満たすと 仮定する。

1. fとg は下半連続であり、は代数的内部であり、（hが何らかの関数）は集合、または${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} gA\operatorname {dom} f)}$${\displaystyle \operatorname {コア} }$${\displaystyle \operatorname {dom} h}$${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$関数が連続する点はどこですか。${\displaystyle \operatorname {cont} }$

すると強い双対性が成立する。つまり、 となる。すると、最高値が達成される。^[1]${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$

次の図では、方程式の左側の最小化問題が示されています。xにおける凸曲線と凹曲線の垂直距離が可能な限り小さくなるようにx を変化させます。図の垂直線の位置が (近似的な) 最適値です。

次の図は、上記の式の右側の最大化問題を示しています。2 つの曲線のそれぞれに接線が描かれ、両方の接線の傾きpが同じになります。問題は、2 つの接線が可能な限り離れるように (より正確には、y 軸と交差する点が可能な限り離れるように) p を調整することです。2 つの接線を、その間にある垂直のバネが押し離し、固定された 2 つの放物線に押し付ける金属棒だと想像してください。

フェンチェルの定理によれば、2 つの問題は同じ解を持つことになります。垂直方向の分離が最小となる点は、平行接線が最大限に分離する接点でもあります。

• ルジャンドル変換
• 凸共役
• モローの定理
• ウルフの二重性
• ヴェルナー・フェンチェル

• Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (2017). 「Fenchel–Rockafellar Duality」.ヒルベルト空間における凸解析と単調作用素理論. Springer. pp. 247–262. doi :10.1007/978-3-319-48311-5_15. ISBN 978-3-319-48310-8。
• ロッカフェラー、ラルフ・ティレル(1996)。凸解析。プリンストン大学出版局。p. 327。ISBN 0-691-01586-4。