逆の混乱

逆の混同は、条件付き確率の誤謬、あるいは逆の誤謬とも呼ばれ、条件付き確率をその逆と同等に扱う論理的誤謬である。つまり、2つの事象AとB がある場合、事象 B が起こったと仮定してAが起こる確率は、事象Aが起こったと仮定してBが起こる確率とほぼ同じであると仮定されるが、実際にはこの仮定を裏付ける証拠はない。^{[1] [2]}より正式には、P ( A | B ) はP ( B | A )とほぼ等しいと仮定される。

ある研究では、医師に、発生確率が1% の悪性腫瘍の可能性を尋ねました。検査では悪性腫瘍の 80% を検出でき、偽陽性率は 10% です。検査結果が陽性の場合、悪性腫瘍の可能性はどれくらいでしょうか? ^[3] 100 人中約 95 人の医師が、悪性腫瘍の可能性は約 75% と回答しました。これは、医師が、検査結果が陽性の場合の悪性腫瘍の可能性は、悪性腫瘍の場合の検査結果が陽性の場合の確率とほぼ同じであると信じていたためと思われます。^[4]

上記のように陽性検査結果が与えられた場合の悪性腫瘍の正しい確率は、ベイズの定理から導かれる 7.5% です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad P({\text{malignant}}|{\text{positive}})\\[8pt]&={\frac {P({\text{positive}}|{\text{malignant}})P({\text{malignant}})}{P({\text{positive}}|{\text{malignant}})P({\text{malignant}})+P({\text{positive}}|{\text{benign}})P({\text{benign}})}}\\[8pt]&={\frac {(0.80\cdot 0.01)}{(0.80\cdot 0.01)+(0.10\cdot 0.99)}}=0.075\end{aligned}}}$

その他の混乱の例としては、次のものがあります。

• ハードドラッグ使用者はマリファナを使用する傾向があるため、マリファナ使用者はハードドラッグを使用する傾向がある（最初の確率はハードドラッグ使用を前提としたマリファナ使用であり、2番目の確率はマリファナ使用を前提としたハードドラッグ使用である）。^[5]
• ほとんどの事故は自宅から25マイル以内で発生するため、自宅から離れているときが最も安全です。^[5]
• テロリストは工学のバックグラウンドを持つ傾向があり、エンジニアはテロリズムに傾倒する傾向がある。^[6]

条件付き確率におけるその他の誤りについては、モンティ・ホール問題および基準率の誤謬を参照してください。不正な変換と比較してください。

重篤な病気を患っている個人を早期に治癒可能な形で特定するために、大規模な集団のスクリーニングが検討されるかもしれません。利点は明らかですが、そのようなスクリーニングに反対する論拠は、スクリーニング結果が偽陽性であることによる混乱です。病気にかかっていない人が最初の検査で誤って病気にかかっていることが判明した場合、その人はおそらく動揺し、その後さらに慎重な検査を受けて健康であると伝えられたとしても、その人の生活は依然として悪影響を受ける可能性があります。病気に対して不必要な治療を受けた場合、治療の副作用と費用によって害を受ける可能性があります。

この問題の大きさは、条件付き確率の観点から見ると最もよく理解できます。

集団の1%が病気にかかっており、残りは健康であると仮定します。ランダムに個人を選ぶと、

${\displaystyle P({\text{ill}})=1\%=0.01{\text{ and }}P({\text{well}})=99\%=0.99.}$

スクリーニング検査を病気にかかっていない人に適用した場合、偽陽性の結果が出る確率が1％（したがって真陰性の結果が出る確率は99％、この数値は検査の特異度と呼ばれる）であると仮定すると、

${\displaystyle P({\text{positive}}|{\text{well}})=1\%,{\text{ and }}P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%.}$

最後に、病気にかかっている人に検査を行った場合、偽陰性の結果が出る確率が1％（そして真陽性の結果が出る確率は99％、検査の 感度と呼ばれる）であると仮定します。

${\displaystyle P({\text{negative}}|{\text{ill}})=1\%{\text{ and }}P({\text{positive}}|{\text{ill}})=99\%.}$

グループ全体のうち健康で検査結果が陰性（真陰性）の個人の割合:

${\displaystyle P({\text{well}}\cap {\text{negative}})=P({\text{well}})\times P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%\times 99\%=98.01\%.}$

グループ全体のうち、病気で検査で陽性と判定された人の割合（真陽性）:

${\displaystyle P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})=P({\text{ill}})\times P({\text{positive}}|{\text{ill}})=1\%\times 99\%=0.99\%.}$

グループ全体のうち偽陽性の結果が出た人の割合:

${\displaystyle P({\text{well}}\cap {\text{positive}})=P({\text{well}})\times P({\text{positive}}|{\text{well}})=99\%\times 1\%=0.99\%.}$

グループ全体のうち偽陰性の結果となった個人の割合:

${\displaystyle P({\text{ill}}\cap {\text{negative}})=P({\text{ill}})\times P({\text{negative}}|{\text{ill}})=1\%\times 1\%=0.01\%.}$

さらに、グループ全体の中で陽性反応を示す人の割合は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{positive}})&{}=P({\text{well }}\cap {\text{ positive}})+P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})\\&{}=0.99\%+0.99\%=1.98\%.\end{aligned}}}$

最後に、検査結果が陽性の場合に、個人が実際に病気にかかっている確率は次のとおりです。

${\displaystyle P({\text{ill}}|{\text{positive}})={\frac {P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})}{P({\text{positive}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%.}$

この例では、仮定確率が 99% である条件付き確率P (陽性 | 病気) と 50% であるP (病気 | 陽性) の違いを簡単に関連付けることができます。前者は病気にかかっている人が陽性と判定される確率で、後者は陽性と判定された人が実際に病気にかかっている確率です。したがって、この例で選択された確率では、偽陽性に悩む人とほぼ同じ数の人が早期治療の恩恵を受けます。これらのプラス効果とマイナス効果は、スクリーニングを実施するかどうか、または可能であれば偽陽性の数を減らすために (偽陰性が増える可能性はありますが) テスト基準を調整するかどうかを決定する際に考慮できます。

• 逆（論理）
• 検察官の誤謬