パンジャー再帰

Panjer再帰は、複合ランダム変数の確率分布近似を計算するアルゴリズムです。ここで、と は 両方ともランダム変数であり、特殊なタイプです。より一般的なケースでは、Sの分布は複合分布です。検討されている特殊なケースの再帰は、 Harry Panjer (ウォータールー大学^[2]の著名な名誉教授)の論文^{[1]で導入されました。これは}保険数理科学で頻繁に使用されます(システミックリスクも参照)。 ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$

私たちが興味を持っているのは、次の前提条件を満たす 複合ランダム変数です。${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$

はiidであり、 とは独立であると仮定します。さらに、 は格子幅 の格子上に分布している必要があります。 ${\displaystyle X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}$${\displaystyle h>0\,}$

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}$

保険数理の実務では、請求密度関数（上限、下限など）を離散化することで得られます。 ${\displaystyle X_{i}\,}$

請求数Nはランダム変数であり、「請求数分布」を持つと言われ、0、1、2、... などの値を取ることができます。「Panjer 再帰」の場合、Nの確率分布はPanjer クラス、つまり分布の (a,b,0)クラスのメンバーである必要があります。このクラスは、次の関係を満たすすべてのカウントランダム変数で構成されます。

${\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\, }$

を満たすいくつかのおよびに対して初期値が決定される。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b\geq 0\,}$${\displaystyle p_{0}\,}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}$

Panjer 再帰法では、この反復関係を利用して、Sの確率分布を構築する再帰的な方法を指定します。以下では、Nの確率生成関数を示します。これについては、分布の (a,b,0) クラスの表を参照してください。 ${\displaystyle W_{N}(x)\,}$

請求数がわかっている場合は、De Prilアルゴリズムに注意してください。^[3]このアルゴリズムは、離散確率変数の合計分布を計算するのに適しています。^[4]${\displaystyle n}$

アルゴリズムは、 を計算するための再帰を提供します。 ${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$

開始値は特別なケースです ${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,}$

そして

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ }}\quad a\neq 0,\,}$

そして続行する

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{kj}.\,}$

次の例は、格子幅h = 0.04 の場合のの近似密度を示しています。(フレシェ分布を参照してください。) ${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{フレシェ}}(1.7,1)}$

観察されたように、再帰の初期化時に問題が発生する可能性があります。GuéganとHassani（2009）は、その問題に対処するための解決策を提案しました。^[5]

• Panjer再帰とそれが使用できる分布