オイラーの臨界荷重

オイラーの臨界荷重またはオイラーの座屈荷重は、細い柱が突然曲がったり座屈したりする圧縮荷重である。次の式で表される: ^[1]

$${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle P_{cr}}$、オイラーの臨界荷重（柱の縦方向圧縮荷重）、
• ${\displaystyle E}$、柱材料のヤング率、
• ${\displaystyle I}$、柱の断面の二次モーメント（断面2次モーメント）、
• ${\displaystyle L}$、サポートされていない列の長さ、
• ${\displaystyle K}$、列有効長さ係数

この式は、1744 年にスイスの 数学者 レオンハルト オイラーによって導き出されました。^[2]柱は、臨界荷重未満の荷重では真っ直ぐなままです。臨界荷重とは、横方向のたわみ (座屈) を引き起こさない最大の荷重です。臨界荷重を超える荷重では、柱は横方向にたわみます。臨界荷重により、柱は不安定な平衡状態になります。臨界荷重を超える荷重がかかると、柱は座屈して破損します。荷重が臨界荷重を超えて増加すると、横方向のたわみが増加し、最終的には材料の降伏などの他のモードで破損する可能性があります。この記事では、臨界荷重を超える柱の荷重については取り上げていません。

1900 年頃、JB ジョンソンは、細長比が低い場合には別の公式を使用する必要があることを示しました。

オイラーの公式を導く際には、以下の仮定が立てられる。^[3]

1. 柱の材質は均質かつ等方性です。
2. 柱にかかる圧縮荷重は軸方向のみです。
3. 柱には初期応力がありません。
4. 柱の重さは無視されます。
5. 柱は最初は真っ直ぐです（軸荷重の偏心はありません）。
6. ピンジョイントは摩擦がなく（モーメント制約なし）、固定端は固定されています（回転偏向なし）。
7. 柱の断面は全長にわたって均一です。
8. 直接応力は曲げ応力に比べて非常に小さいです（材料はひずみの弾性範囲内でのみ圧縮されます）。
9. 柱の長さは、柱の断面寸法に比べて非常に大きいです。
10. 柱は座屈によってのみ破損します。これは、柱の圧縮応力が降伏強度 を超えない場合に当てはまります(図 1 を参照)。ここで、 ${\displaystyle \sigma_{y}}$$${\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}}$$
    • ${\textstyle {L_{e}}/{r}}$細長比は
    • ${\displaystyle L_{e}=KL}$有効長さは
    • ${\textstyle r={\sqrt {I/A}}}$回転半径は
    • ${\displaystyle I}$断面二次モーメント（断面2次モーメント）である。
    • ${\displaystyle A}$断面積です。

細い柱の場合、臨界座屈応力は通常、降伏応力よりも低くなります。対照的に、太い柱の場合、臨界座屈応力は降伏応力よりも高くなる可能性があり、つまり、座屈する前に降伏します。

次のモデルは、両端が単純支持された柱に適用されます（）。 ${\displaystyle K=1}$

まず、ヒンジ端には反作用がないので、柱のどの断面にもせん断力は発生しないという事実に注目します。反作用がない理由は、対称性(反作用は同じ方向になるはず) とモーメント平衡 (反作用は反対方向になるはず) から得られます。

図 3 の右側の自由体図を使用し、点xを中心としたモーメントの合計を作成します。 ここで、w は横方向のたわみです。 $${\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}$$

オイラー・ベルヌーイの梁理論によれば、梁のたわみは曲げモーメントと次のように関係します。 $${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}.}$$

それで： $${\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}$$

とすると、次のようになります。 ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}$$

古典的な同次2階常微分方程式が得られます。

この方程式の一般解は、ここでおよび は境界条件によって決定される定数であり、境界条件は次のようになります。 ${\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• 左端を固定:${\displaystyle w(0)=0\rightarrow A=0}$
• 右端をピン留め:${\displaystyle w(\ell )=0\rightarrow B\sin(\lambda \ell )=0}$

の場合、曲げモーメントは存在せず、という自明な解が得られます。 ${\displaystyle B=0}$${\displaystyle w(x)=0}$

しかし、他の解から、${\displaystyle \sin(\lambda \ell )=0}$${\displaystyle \lambda _{n}\ell =n\pi }$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

前に定義したように、様々な臨界荷重は次のようになります。 の値に応じて、図4に示すように異なる座屈モードが生成されます^[4]。 n = 0の荷重とモードは非座屈モードです。 ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$$${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}\;,\quad {\text{ for }}n=0,1,2,\ldots }$$${\displaystyle n}$

理論的には、あらゆる座屈モードが可能ですが、ゆっくりと荷重が加えられる場合には、最初のモード形状のみが生成される可能性が高くなります。

したがって、ピンエンド柱 のオイラーの臨界荷重は次のようになります。 また、第 1 モードで座屈した柱の形状は次のようになります。 $${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}}$$$${\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over \ell }x\right).}$$

梁の軸の微分方程式^[5]は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}$$

軸方向荷重のみを受ける柱の場合、横方向荷重はゼロとなり、 を代入すると次の式が得られます。 ${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$$${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}$$

これは同次4階微分方程式であり、その一般解は $${\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}$$

4 つの定数は、各端における境界条件 (端の制約) によって決まります。次の 3 つのケースがあります。 ${\displaystyle A,B,C,D}$${\displaystyle w(x)}$

1. ピン留めされた端:

   ${\displaystyle w=0}$そして${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$

2. 固定端:

   ${\displaystyle w=0}$そして${\displaystyle {dw \over dx}=0}$

3. 自由端:

   ${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$そして${\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}$

これらの境界条件の組み合わせごとに、固有値問題が得られます。これを解くと、図 2 に示す各ケースのオイラー臨界荷重の値が得られます。

• 座屈
• 曲げモーメント
• 曲げ
• オイラー・ベルヌーイ梁理論