電子と縦方向音響フォノンの相互作用

電子と縦音響フォノンの相互作用は、半導体などの材料中の電子と縦音響（LA）フォノンとの間で起こりうる相互作用である。

周期格子内に位置する質量Mの原子の運動方程式は次のとおりである。

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}u_{n}=-k_{0}(u_{n-1}+u_{n+1}-2u_{n})}$、

どこ${\displaystyle u_{n}}$これは、 n番目の原子が平衡位置からどれだけずれているかを示す値です。

変位の定義${\displaystyle u_{\ell }}$の${\displaystyle \ell }$原子によって${\displaystyle u_{\ell }=x_{\ell }-\ell a}$、 どこ${\displaystyle x_{\ell }}$は、${\displaystyle \ell }$th原子と${\displaystyle a}$は格子定数です。

変位は次のように与えられる。${\displaystyle u_{l}=Ae^{i(q\ell a-\omega t)}}$

次にフーリエ変換を用いると：

${\displaystyle Q_{q}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\ell }u_{\ell }e^{-iqa\ell }}$

そして

${\displaystyle u_{\ell }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{q}Q_{q}e^{iqa\ell }}$。

以来${\displaystyle u_{\ell }}$エルミート演算子です。

${\displaystyle u_{\ell }={\frac {1}{2{\sqrt {N}}}}\sum _{q}(Q_{q}e^{iqa\ell }+Q_{q}^{\dagger }e^{-iqa\ell })}$

生成消滅演算子の定義から${\displaystyle a_{q}^{\dagger }={\frac {q}{\sqrt {2M\hbar \omega _{q}}}}(M\omega _{q}Q_{-q}-iP_{q}),\;a_{q}={\frac {q}{\sqrt {2M\hbar \omega _{q}}}}(M\omega _{q}Q_{-q}+iP_{q})}$

${\displaystyle Q_{q}}$次のように書かれています

${\displaystyle Q_{q}={\sqrt {\frac {\hbar }{2M\omega _{q}}}}(a_{-q}^{\dagger }+a_{q})}$

それから${\displaystyle u_{\ell }}$表現

${\displaystyle u_{\ell }=\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(a_{q}e^{iqa\ell }+a_{q}^{\dagger }e^{-iqa\ell })}$

したがって、連続体モデルを用いると、3次元の場合の変位演算子は次のようになる。

${\displaystyle u(r)=\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}e_{q}[a_{q}e^{iq\cdot r}+a_{q}^{\dagger }e^{-iq\cdot r}]}$、

どこ${\displaystyle e_{q}}$は変位方向の単位ベクトルです。

電子と縦方向音響フォノンの相互作用ハミルトニアンは次のように定義される。${\displaystyle H_{\text{el}}}$

${\displaystyle H_{\text{el}}=D_{\text{ac}}{\frac {\delta V}{V}}=D_{\text{ac}}\,\mathop {\rm {div}} \,u(r)}$、

どこ${\displaystyle D_{\text{ac}}}$は音響フォノンによる電子散乱の変形ポテンシャルである。^{[ 1 ]}

変位ベクトルをハミルトニアンに挿入すると、

${\displaystyle H_{\text{el}}=D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(ie_{q}\cdot q)[a_{q}e^{iq\cdot r}-a_{q}^{\dagger }e^{-iq\cdot r}]}$

電子の散乱確率 ${\displaystyle |k\rangle }$に${\displaystyle |k'\rangle }$州は

${\displaystyle P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\mid \langle k',q'|H_{\text{el}}|\ k,q\rangle \mid ^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}]}$

${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(ie_{q}\cdot q){\sqrt {n_{q}+{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}}}\,{\frac {1}{L^{3}}}\int d^{3}r\,u_{k'}^{\ast }(r)u_{k}(r)e^{i(k-k'\pm q)\cdot r}\right|^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}]}$

全空間にわたる積分を、単位セルの積分の総和に置き換える。

${\displaystyle P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\left(D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}|q|{\sqrt {n_{q}+{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}}}\,I(k,k')\delta _{k',k\pm q}\right)^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}],}$

どこ${\displaystyle I(k,k')=\Omega \int _{\Omega }d^{3}r\,u_{k'}^{\ast }(r)u_{k}(r)}$、 ${\displaystyle \Omega }$は単位格子の体積です。

${\displaystyle P(k,k')={\begin{cases}{\frac {2\pi }{\hbar }}D_{\text{ac}}^{2}{\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}|q|^{2}n_{q}&(k'=k+q;{\text{absorption}}),\\{\frac {2\pi }{\hbar }}D_{\text{ac}}^{2}{\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}|q|^{2}(n_{q}+1)&(k'=k-q;{\text{emission}}).\end{cases}}}$

• フォノン散乱
• ウムクラップ散乱

• 浜口千尋（2017）『半導体基礎物理学』大学院物理学テキスト（第3版 ）Springer、pp. 265–363。Bibcode : 2017bsp..book .....H。doi : 10.1007 /978-3-319-66860-4。ISBN  978-3-319-88329-8。
• ゆう、ピーター・Y。カルドナ、マヌエル (2005)。半導体の基礎(第 3 版)。スプリンガー。